23.04 Количество программ из A в B где траектория вычислений НЕ содержит число(-а)

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, +4), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(x, y):
    if x > y or x == 56: # Если число стало больше нужного или встретилось запрещённое
        return 0
    elif x == y: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    else:
        return f(x + 1, y) + f(x + 4, y) + f(x * 2, y) # Количество путей до текущего числа

print(f(33, 72)) # Найдем ответ по условию задачи

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i - 4 и i // 2.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 33 до 72
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 33 в число i
a = [0] * 10000
a[33] = 1 # Начальное число
for i in range(33, 73):
    a[56] = 0 # Пропустим число 56
    # Увеличиваем количество путей в следующих ячейках, если в них можно попасть из текущей
    a[i + 1] += a[i]
    a[i + 4] += a[i]
    a[i * 2] += a[i]
print(a[72]) # Выводим ответ