23.04 Количество программ из A в B где траектория вычислений НЕ содержит число(-а)

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, +3, умножить на 3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(x, y):
    if x > y or x == 5 or x == 17 or x == 35: # Если число стало больше нужного или встретили запрещённое
        return 0
    elif x == y: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    else:
        return f(x + 1, y) + f(x + 3, y) + f(x * 2, y) + f(x * 3, y) # Количество путей до текущего числа

print(f(3, 45)) # Найдем ответ по условию задачи

 

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i - 3, i // 2, i // 3.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 4 до 45
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 3 в число i
a = [0]*46
a[3] = 1 # Начальное число
for i in range(4, 46):
    a[i] = a[i - 1] + a[i - 3]
    if i % 2 == 0: # Будем делить на 2 только если число кратно 2
        a[i] += a[i // 2]
    if i % 3 == 0: # Будем делить на 3 только если число кратно 3
        a[i] += a[i // 3]
    if i == 5 or i == 17 or i == 35: # Если встретили запрещённое число - пропускаем (ставим 0)
        a[i] = 0
print(a[45]) # Выводим ответ