23.04 Количество программ из A в B где траектория вычислений НЕ содержит число(-а)

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, +2), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(start, finish):
    if start == finish:  # Если дошли до нужного числа
        return 1
    if start > finish or start == 8: # Если число стало больше нужного или 8
        return 0
    return f(start + 1, finish) + f(start + 2, finish) + f(start * 2, finish) # Количество путей до текущего числа
print(f(3, 13)) # Найдем ответ по условию задачи

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i - 2 и i // 2.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 4 до 13
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 3 в число i
a = [0] * 14
a[3] = 1 # Начальное число
for i in range(4, 14):
    if i == 8: # Пропустим число 8
        continue
    a[i] += a[i - 1]
    a[i] += a[i - 2]
    if i % 2 == 0: # Будем делить на 2 только если число кратно 2
        a[i] += a[i // 2]
print(a[13]) # Выводим ответ