23.04 Количество программ из A в B где траектория вычислений НЕ содержит число(-а)

Пусть — количество программ, которое число 1 преобразует в число . Тогда верно следующее утверждение:

Заполним таблицу по данной формуле до 12:

Так как по условию сказано, что траектория не должна содержать число 13, значит . Продолжим заполнять таблицу:

Аналогично . Заполним таблицу до конца:

Отсюда получаем ответ — 796.

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+2, +5, +3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(c, m):
    if c > m or c == 13 or c == 19: # Если число стало больше нужного или встретили запрещённое
        return 0
    if c == m: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    return f(c + 2, m) + f(c + 3, m) + f(c + 5, m) # Количество путей до текущего числа

print(f(1, 25)) # Найдем ответ по условию задачи