23.05 Количество программ из A в B смешанное

Решение рекурсией:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречаются запрещённые числа 8 или 15, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (прибавление 1, прибавление 2, умножение на 3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 10, но не содержала чисел 8 и 15, то общее количество программ равно произведению f(3, 10) и f(10, 22). Первая часть считает количество способов дойти от 3 до 10, вторая — от 10 до 22, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
# Если число больше целевого или равно запрещённым 8 или 15,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 8 or a == 15:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
     # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a + 2, b) + f(a * 3, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 10
print(f(3, 10) * f(10, 22))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 21 необходимо знать количество траекторий до чисел 20, 19 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 (команда прибавь 1), i-2 (команда прибавь 2) и i//3 (команда умножь на 3, только для чисел кратных 3).

По условию траектория не должна содержать числа 8 и 15, поэтому при подсчете количества траекторий значения в ячейках с индексами 8 и 15 должны остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 10. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 3 в 10, из 10 в 22. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 3 до 10 (с обязательным исключением числа 8)
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 10
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 3 в число i
a = [0] * (10 + 1)
a[3] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 3

# Перебираем все числа от 4 до 10 включительно
for i in range(4, 10 + 1):
    if i == 8:
          continue  # Пропускаем числа 8 и 15 согласно условию задачи
    # Можно прийти командами прибавь 1 и прибавь 2
    ways = a[i-1] + a[i-2]

    # Можно прийти командой умножь на 3 (только для чисел кратных 3)
    if i % 3 == 0:
        ways += a[i // 3]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 10 до 22 (с обязательным исключением числа 15)
# Массив для чисел от 0 до 22
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 10 в число i
b = [0] * (22 + 1)
b[10] = 1  # Начинаем из числа 10, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 11 до 22 включительно
for i in range(11, 22 + 1):
    if i == 15:
        continue  # Пропускаем числа 8 и 15 согласно условию задачи

    # Можно прийти командами прибавь 1 и прибавь 2
    ways = b[i-1] + b[i-2]

    # Можно прийти командой умножь на 3 (только для чисел кратных 3)
    if i % 3 == 0:
        ways += b[i // 3]

    b[i] = ways
                                                                                                     
                                                                                                     

# Общее количество программ равно произведению путей до 10 и от 10 до 22
print(a[10] * b[22])