23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречаются запрещённые числа 10 или 11, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (прибавление 1, прибавление 2, умножение на 3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 8, но не содержала чисел 10 и 11, то общее количество программ равно произведению f(1, 8) и f(8, 28). Первая часть считает количество способов дойти от 1 до 8, вторая — от 8 до 28, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
# Если число больше целевого или равно запрещённым 10 или 11,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 10 or a == 11:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a + 2, b) + f(a * 3, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 8
print(f(1, 8) * f(8, 28))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 27 необходимо знать количество траекторий до чисел 26, 25 и 9.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 (команда прибавь 1), i-2 (команда прибавь 2) и i//3 (команда умножь на 3, только для чисел кратных 3).

По условию траектория не должна содержать числа 10 и 11, поэтому при подсчете количества траекторий значения в ячейках с индексами 10 и 11 должны остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 8. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 1 в 8, из 8 в 28. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 1 до 8
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 8
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 1 в число i
a = [0] * (8 + 1)
a[1] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 1

# Перебираем все числа от 2 до 8 включительно
for i in range(2, 8 + 1):
    # Можно прийти командами прибавь 1 и прибавь 2
    ways = a[i-1] + a[i-2]

    # Можно прийти командой умножь на 3 (только для чисел кратных 3)
    if i % 3 == 0:
        ways += a[i // 3]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 8 до 28 (с обязательным исключением чисел 10 и 11)
# Массив для чисел от 0 до 28
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 8 в число i
b = [0] * (28 + 1)
b[8] = 1  # Начинаем из числа 8, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 9 до 28 включительно
for i in range(9, 28 + 1):
    if i == 10 or i == 11:
        continue  # Пропускаем числа 10 и 11 согласно условию задачи

    # Можно прийти командами прибавь 1 и прибавь 2
    ways = b[i-1] + b[i-2]

    # Можно прийти командой умножь на 3 (только для чисел кратных 3)
    if i % 3 == 0:
        ways += b[i // 3]

    b[i] = ways

# Общее количество программ равно произведению путей до 8 и от 8 до 28
                                                                                                     
                                                                                                     
print(a[8] * b[28])