23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 39, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (прибавление 1, прибавление 10, умножение на 3), если a > b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 18, но не содержала число 39, то общее количество программ равно произведению f(2, 18) и f(18, 61). Первая часть считает количество способов дойти от 2 до 18, вторая — от 18 до 61, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
# Если число больше целевого или равно запрещённому 39,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 39:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a + 10, b) + f(a * 2, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 18
print(f(2, 18) * f(18, 61))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 62 необходимо знать количество траекторий до чисел 61, 52 и 31 (не целое, игнорируем).

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 (команда Прибавить 1), i-10 (команда Прибавить 10) и i//2 (команда Умножить на 2, только для четных чисел).

По условию траектория не должна содержать число 39, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 39 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 18. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 2 в 18, из 18 в 61. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 2 до 18
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 18
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 2 в число i
a = [0] * (18 + 1)
a[2] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 2

# Перебираем все числа от 3 до 18 включительно
for i in range(3, 18 + 1):
    # Можно прийти командой Прибавить 1
    ways = a[i-1]

    # Можно прийти командой Прибавить 10 (если i-10 >= 2)
    if i-10 >= 2:
        ways += a[i-10]

    # Можно прийти командой Умножить на 2 (только для четных чисел)
    if i % 2 == 0:
        ways += a[i // 2]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 18 до 61
# Массив для чисел от 0 до 61 (с обязательным исключением числа 39)
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 18 в число i
b = [0] * (61 + 1)
b[18] = 1  # Начинаем из числа 18, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 19 до 61 включительно
for i in range(19, 61 + 1):
    if i == 39:
        continue  # Пропускаем число 39 согласно условию задачи

    # Можно прийти командой Прибавить 1
    ways = b[i-1]

    # Можно прийти командой Прибавить 10 (если i-10 >= 18)
    if i-10 >= 18:
        ways += b[i-10]
                                                                                                     
                                                                                                     

    # Можно прийти командой Умножить на 2 (только для четных чисел)
    if i % 2 == 0:
        ways += b[i // 2]

    b[i] = ways

# Общее количество программ равно произведению путей до 18 и от 18 до 61
print(a[18] * b[61])