23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 29, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для двух возможных переходов (прибавление 1, прибавление 9), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 13, но не содержала число 29, то общее количество программ равно произведению f(4, 13) и f(13, 49). Первая часть считает количество способов дойти от 4 до 13, вторая — от 13 до 49, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
# Если число больше целевого или равно запрещённому 29,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 29:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a + 9, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 13
print(f(4, 13) * f(13, 49))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 49 необходимо знать количество траекторий до чисел 48 и 40.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 (команда Прибавить 1) и i-9 (команда Прибавить 9).

По условию траектория не должна содержать число 29, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 29 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 13. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 4 в 13, из 13 в 49. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 4 до 13
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 13
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 4 в число i
a = [0] * (13 + 1)
a[4] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 4

# Перебираем все числа от 5 до 13 включительно
for i in range(5, 13 + 1):
    # Можно прийти командой Прибавить 1
    ways = a[i-1]

    # Можно прийти командой Прибавить 9 (если i-9 >= 4)
    if i-9 >= 4:
        ways += a[i-9]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 13 до 49
# Массив для чисел от 0 до 49 (с обязательным исключением числа 29)
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 13 в число i
b = [0] * (49 + 1)
b[13] = 1  # Начинаем из числа 13, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 14 до 49 включительно
for i in range(14, 49 + 1):
    if i == 29:
        continue  # Пропускаем число 29 согласно условию задачи

    # Можно прийти командой Прибавить 1
    ways = b[i-1]

    # Можно прийти командой Прибавить 9 (если i-9 >= 13)
    if i-9 >= 13:
        ways += b[i-9]

    b[i] = ways

# Общее количество программ равно произведению путей до 13 и от 13 до 49
                                                                                                     
                                                                                                     
print(a[13] * b[49])