23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 31, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для двух возможных переходов (прибавление 1, прибавление 5), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 21, но не содержала число 31, то общее количество программ равно произведению f(1, 21) и f(21, 66). Первая часть считает количество способов дойти от 1 до 21, вторая — от 21 до 66, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
# Если число больше целевого или равно запрещённому 31,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 31:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a + 5, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 21
print(f(1, 21) * f(21, 66))

 

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 66 необходимо знать количество траекторий до чисел 65 и 61.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 (команда Прибавить 1) и i-5 (команда Прибавить 5).

По условию траектория не должна содержать число 31, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 31 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 21. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 1 в 21, из 21 в 66. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 1 до 21
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 21
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 1 в число i
a = [0] * (21 + 1)
a[1] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 1

# Перебираем все числа от 2 до 21 включительно
for i in range(2, 21 + 1):
    # Можно прийти командой Прибавить 1
    ways = a[i-1]

    # Можно прийти командой Прибавить 5 (если i-5 >= 1)
    if i-5 >= 1:
        ways += a[i-5]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 21 до 66
# Массив для чисел от 0 до 66 (с обязательным исключением числа 31)
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 21 в число i
b = [0] * (66 + 1)
b[21] = 1  # Начинаем из числа 21, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 22 до 66 включительно
for i in range(22, 66 + 1):
    if i == 31:
        continue  # Пропускаем число 31 согласно условию задачи

    # Можно прийти командой Прибавить 1
    ways = b[i-1]

    # Можно прийти командой Прибавить 5 (если i-5 >= 21)
    if i-5 >= 21:
        ways += b[i-5]

    b[i] = ways

# Общее количество программ равно произведению путей до 21 и от 21 до 66
print(a[21] * b[66])