23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 20, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (прибавление 2, прибавление 6, умножение на 3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 14, но не содержала число 20, то общее количество программ равно произведению f(4, 14) и f(14, 42). Первая часть считает количество способов дойти от 4 до 14, вторая — от 14 до 42, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
# Если число больше целевого или равно запрещённому 20,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 20:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 2, b) + f(a + 6, b) + f(a * 3, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 14
print(f(4, 14) * f(14, 42))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 42 необходимо знать количество траекторий до чисел 40, 36 и 14.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-2 (команда Прибавить 2), i-6 (команда Прибавить 6) и i//3 (команда Умножить на 3, только для чисел кратных 3).

По условию траектория не должна содержать число 20, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 20 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 14. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 4 в 14, из 14 в 42. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 4 до 14
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 14
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 4 в число i
a = [0] * (14 + 1)
a[4] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 4

# Перебираем все числа от 5 до 14 включительно
for i in range(5, 14 + 1):
    # Можно прийти командой Прибавить 2
    ways = a[i-2]

    # Можно прийти командой Прибавить 6 (если i-6 >= 0)
    if i-6 >= 0:
        ways += a[i-6]

    # Можно прийти командой Умножить на 3 (только для чисел кратных 3)
    if i % 3 == 0:
        ways += a[i // 3]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 14 до 42 (с обязательным исключением числа 20)
# Массив для чисел от 0 до 42
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 14 в число i
b = [0] * (42 + 1)
b[14] = 1  # Начинаем из числа 14, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 15 до 42 включительно
for i in range(15, 42 + 1):
    if i == 20:
        continue  # Пропускаем число 20 согласно условию задачи

    # Можно прийти командой Прибавить 2
    ways = b[i-2]

    # Можно прийти командой Прибавить 6
    ways += b[i-6]

    # Можно прийти командой Умножить на 3 (только для чисел кратных 3)
    if i % 3 == 0:
        ways += b[i // 3]
    b[i] = ways
                                                                                                  
                                                                                                  

# Общее количество программ равно произведению путей до 14 и от 14 до 42
print(a[14] * b[42])