23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречаются запрещённые числа 10 или 20, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (прибавление 1, прибавление 2, умножение на 3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 15, но не содержала чисел 10 и 20, то общее количество программ равно произведению f(3, 15) и f(15, 30). Первая часть считает количество способов дойти от 3 до 15, вторая — от 15 до 30, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
    # Если число больше целевого или равно запрещённым 10 и 20,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 10 or a == 20:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a * 3, b) + f(a + 2, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 15
print(f(3, 15) * f(15, 30))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа, опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Для подсчета количества траекторий до числа 30 необходимо знать количество траекторий до чисел 29, 28 и 10 (для команды умножения на 3).

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1, i-2 и i//3 (только для чисел, кратных 3).

По условию траектория не должна содержать числа 10 и 20, поэтому при подсчете количества траекторий значения в ячейках с индексами 10 и 20 должны остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 15. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 3 в 15, из 15 в 30. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 3 до 15 (с обязательным исключением числа 10)
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 15
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 3 в число i
a = [0] * (15 + 1)
a[3] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 3

# Перебираем все числа от 4 до 15 включительно
for i in range(4, 15 + 1):
    if i == 10:
        continue  # Пропускаем запрещенные числа согласно условию задачи

    # Для всех чисел учитываем команды +1 и +2
    ways = a[i - 1] + a[i - 2]

    # Для чисел, кратных 3, добавляем команду *3
    if i % 3 == 0:
        ways += a[i // 3]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 15 до 30 (с обязательным исключением числа 20)
# Массив для чисел от 0 до 30
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 15 в число i
b = [0] * (30 + 1)
b[15] = 1  # Начинаем из числа 15, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 16 до 30 включительно
for i in range(16, 30 + 1):
    if i == 20:
        continue  # Пропускаем запрещенные числа согласно условию задачи

    # Для всех чисел учитываем команды +1 и +2
    ways = b[i - 1] + b[i - 2]

    # Для чисел, кратных 3, добавляем команду *3
    if i % 3 == 0:
        ways += b[i // 3]

    b[i] = ways

# Общее количество программ равно произведению путей до 15 и от 15 до 30
print(a[15] * b[30])