23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 12, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для двух возможных переходов (прибавление 1, умножение на 2), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 18, но не содержала число 12, то общее количество программ равно произведению f(3, 18) и f(18, 55). Первая часть считает количество способов дойти от 3 до 18, вторая — от 18 до 55, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
    # Если число больше целевого или равно запрещённому 12,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 12:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a+1, b) + f(a*2, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 18
print(f(3, 18) * f(18, 55))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа, опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 55 необходимо знать количество траекторий до чисел 54, 53 и 27 (для команды умножения на 2).

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 и i//2 (только для четных чисел, так как в нечетные нельзя попасть, используя команду «Умножить на 2»).

По условию траектория не должна содержать число 12, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 12 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 18. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 3 в 18, из 18 в 55. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 3 до 18 (с обязательным исключением числа 12)
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 18
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 3 в число i
a = [0] * (18 + 1)
a[3] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 3

# Перебираем все числа от 4 до 18 включительно
for i in range(4, 18 + 1):
    if i == 12:
        continue  # Пропускаем число 12 согласно условию задачи
    if i % 2 == 0:
        # Для четных чисел: можно прийти командами +1 или *2
        a[i] = a[i - 1] + a[i // 2]
    else:
        # Для нечетных чисел: можно прийти только командой +1
        a[i] = a[i - 1]

# Второй этап: от 18 до 55 (также исключаем число 12)
# Массив для чисел от 0 до 55
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 18 в число i
b = [0] * (55 + 1)
b[18] = 1  # Начинаем из числа 18, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 19 до 55 включительно
for i in range(19, 55 + 1):
    if i == 12:
        continue  # Пропускаем число 12 согласно условию задачи
    if i % 2 == 0:
        # Для четных чисел учитываем обе команды
        b[i] = b[i - 1] + b[i // 2]
    else:
        # Для нечетных чисел - только команду сложения
        b[i] = b[i - 1]

# Общее количество программ равно произведению путей до 18 и от 18 до 55
print(a[18] * b[55])