23.05 Количество программ из A в B смешанное

Рекурсия:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 12, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для двух возможных переходов (прибавление 1, прибавление 2), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 6, но не содержала число 12, то общее количество программ равно произведению f(3, 6) и f(6, 12). Первая часть считает количество способов дойти от 3 до 6, вторая — от 6 до 21, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
    # Если число больше целевого или равно запрещённому 12,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 12:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a+1, b) + f(a+2, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 6
print(f(3, 6) * f(6, 21))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 и i-2.

По условию траектория не должна содержать число 12, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 12 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 6. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 3 в 6, из 6 в 21. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 3 до 6
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 6
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 3 в число i
a = [0] * (6 + 1)
a[3] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 3
# Перебираем все числа от 4 до 6 включительно
for i in range(4, 6 + 1):
  a[i] = a[i-1] + a[i-2]

# Второй этап: от 6 до 21
# Массив для чисел от 0 до 21
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 6 в число i
b = [0] * (21 + 1)
b[6] = 1  # Начинаем из числа 6, которое должно быть в траектории
# Перебираем все числа от 7 до 21 включительно
for i in range(7, 21 + 1):
    if i == 12: # Если попадаем в число 12,
        b[i] = 0 # то ставим количество программ равным 0
    else:
        b[i] = b[i - 1] + b[i - 2]
# Общее количество программ равно произведению путей до 6 и от 6 до 21
print(a[6]*b[21])

Получается ответ: