23.05 Количество программ из A в B смешанное

Решение рекурсией:

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 15, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (прибавление 1, прибавление 4, умножение на 2), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

Так как нужно, чтобы траектория содержала число 7, но не содержала число 15, то общее количество программ равно произведению f(2, 7) и f(7, 30). Первая часть считает количество способов дойти от 2 до 7, вторая — от 7 до 30, произведение этих значений дает ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a, b):
    # Если число больше целевого или равно запрещённому 15,
    # то есть нарушено условие задачи
    if a > b or a == 15:
        return 0
    # Если дошли до целевого числа,
    # то есть получили подходящую траекторию
    if a == b:
        return 1
    # В остальных случаяй, считаем все возможные переходы
    return f(a + 1, b) + f(a + 4, b) + f(a * 2, b)
# Вычисляем и выводим ответ, учитывая условие
# траектория проходит через 7
print(f(2, 7) * f(7, 30))

Решение динамикой:

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 30 необходимо знать количество траекторий до чисел 29, 26 и 15.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i-1 (команда Прибавить 1), i-4 (команда Прибавить 4) и i//2 (команда Умножить на 2, только для четных чисел).

По условию траектория не должна содержать число 15, поэтому при подсчете количества траекторий значение в ячейке с индексом 15 должно остаться 0. Также по условию траектория должна содержать число 7. Для этого разделим вычисления на два независимых этапа: из 2 в 7, из 7 в 30. Результаты этих этапов необходимо перемножить, чтобы получить итоговый ответ, так как для каждого пути из первой части можно использовать любой путь из второй части.

# Первый этап: от 2 до 7
# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 0 до 7
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 2 в число i
a = [0] * (7 + 1)
a[2] = 1  # Исходное положение - только один способ быть в числе 2

# Перебираем все числа от 3 до 7 включительно
for i in range(3, 7 + 1):
    # Можно прийти командами Прибавить 1 и Прибавить 4
    ways = a[i-1] + a[i-4]

    # Можно прийти командой Умножить на 2 (только для четных чисел)
    if i % 2 == 0:
        ways += a[i // 2]

    a[i] = ways

# Второй этап: от 7 до 30 (с обязательным исключением числа 15)
# Массив для чисел от 0 до 30
# b[i] - количество программ, которые преобразуют число 7 в число i
b = [0] * (30 + 1)
b[7] = 1  # Начинаем из числа 7, которое должно быть в траектории

# Перебираем все числа от 8 до 30 включительно
for i in range(8, 30 + 1):
    if i == 15:
        continue  # Пропускаем число 15 согласно условию задачи

    # Можно прийти командами Прибавить 1 и Прибавить 4
    ways = b[i-1] + b[i-4]

    # Можно прийти командой Умножить на 2 (только для четных чисел)
    if i % 2 == 0:
        ways += b[i // 2]

    b[i] = ways

# Общее количество программ равно произведению путей до 7 и от 7 до 30
print(a[7] * b[30])