19.01 Перекладывание камней одна куча

Решение руками

Если начальное значение будет более , то и его квадрат будет более , что даст Пете автоматическую победу. Рассмотрим значения менее или равные .

При Петя не сможет достичь , но будет обязан увеличить значение как минимум на , что даст Ване возможность выиграть возведением в квадрат.

При всё абсолютно аналогично, как и при .

При значении и ниже Петя сможет спокойно прибавить , не давая Ване выиграть, получается, что у нас всего подходящих значения.

Ответ:

Решение программой:
Для решения на Python используем рекурсию с проверкой всех возможных ходов (, , возвести в квадрат), чтобы определить, чья это выигрышная позиция.
Функция возвращает , если игра уже завершена (камней ), положительное число — если при оптимальной игре побеждает текущий игрок, и отрицательное – если побеждает соперник.
Так как первый ход делает Петя, цикл запускается от его лица: если значение функции положительное, выигрвает Пете, а если отрицательное – Ваня. Если функция вернёт - значит Петя гарантированно проиграл первым ходом, а Ваня выиграл. При переборе возможных начальных значений программа выводит различные значения, их количество - .

# lru_cache позволит сэкономить ресурсы компьютера. Функция будет сохранять прошлые значения функций, а значит не придётся считать из заново.
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # Функция игры
    if first_heap >= 627: # Если камней в куче стало больше 627
        return 0 # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 4), game(first_heap + 3), game(first_heap ** 2)] # Прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # Проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1 # От лица Пети будет выигрыш (положительное число, прибавляем 1, поскольку это будет уже следующий ход)
    else: # Если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves) # От лица Пети будет проигрыш (отрицательное число)

for i in range(2, 201): # Переберём возможные значения (единицу не берём из-за возведения в квадрат, ведь программа будет бесконечной)
    if game(i) == -1: # Если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
        print(i) # Выведем нужное значение