19.01 Перекладывание камней одна куча

Решение руками

Поймём, что любое число можно будет увеличить как минимум в полтора раза.

Нам нужно найти такое, чтобы Петя, увеличив его, не победил, а Ваня одержал победу.

Очевидно, что нечётные числа более проверять не стоит, ведь , что будет победой, аналогично с большими числами.

Проанализируем чётные числа. Они могут быть увеличены в полтора раза. Число , к примеру, даст нам , что будет победой, аналогично с большими числами.

Возьмём . Петя, прибавив , даст Ване возможность увеличить число в раза и проиграет. Вариант увеличить число в раза для Пети тоже критичен. . Ваня вновь может умножить число на и выиграть. Получаем, что нам подходит. Максимальное нечётное число будет точно меньше , что меньше . Мы же вычислили максимальное чётное, которое может подойти Ване без победы Пети первым ходом.

Ответ:

Решение программой:
Для решения на Python используем рекурсию с проверкой всех возможных ходов (, или ), чтобы определить, чья это выигрышная позиция.
Функция возвращает , если игра уже завершена (камней ), положительное число — если при оптимальной игре побеждает текущий игрок, и отрицательное – если побеждает соперник.
Так как первый ход делает Петя, цикл запускается от его лица: если значение функции положительное, выигрвает Пете, а если отрицательное – Ваня. Если функция вернёт - значит Петя гарантированно проиграл первым ходом, а Ваня выиграл. При переборе возможных начальных значений программа выводит максимальное .

# lru_cache позволит сэкономить ресурсы компьютера. Функция будет сохранять прошлые значения функций, а значит не придётся считать из заново.
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # Функция игры
    if first_heap >= 108: # Если камней в куче стало больше 108
        return 0 # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 1)] # Прописываем ходы возможные в партии
    if first_heap % 2 == 0: # Если чётное - увеличим в полтора раза, иначе в 2
        moves.append(game(first_heap * 1.5))
    else:
        moves.append(game(first_heap * 2))
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # Проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1 # От лица Пети будет выигрыш (положительное число, прибавляем 1, поскольку это будет уже следующий ход)
    else: # Если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves) # От лица Пети будет проигрыш (отрицательное число)

for i in range(2, 108): # Переберём возможные значения
    if game(i) == -1: # Если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
        print(i) # Выведем нужное значение