19.01 Перекладывание камней одна куча

Решение руками

Возьмём необходимое число . Поймём, когда Петя перестанет выигрывать за один ход.

, что уже меньше нужного. К тому же кратно трём, Петя не сможет умножить на два, ведь кратно трём. Он прибавит или . Если добавить единицу, то , что даст Ване победить. Если добавить , то , Ваня вновь победит.

Ответ:

Решение программой:
Для решения на Python используем рекурсию с проверкой всех возможных ходов (, , ), чтобы определить, чья это выигрышная позиция.
Функция возвращает , если игра уже завершена (камней ), положительное число — если при оптимальной игре побеждает текущий игрок, и отрицательное – если побеждает соперник.
Так как первый ход делает Петя, цикл запускается от его лица: если значение функции положительное, выигрвает Пете, а если отрицательное – Ваня. Если функция вернёт - значит Петя гарантированно проиграл первым ходом, а Ваня выиграл. При переборе возможных начальных значений программа выводит различные ответы, возьмём .

# lru_cache позволит сэкономить ресурсы компьютера. Функция будет сохранять прошлые значения функций, а значит не придётся считать из заново.
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # Функция игры
    if first_heap >= 151: # Если камней в куче стало больше 151
        return 0 # Прекращаем игру
    moves = [] # Прописываем ходы возможные в партии
    if (first_heap * 2) % 3 != 0: # Если новое число не делится на 3
        moves.append(game(first_heap * 2))
    if (first_heap + 1) % 3 != 0: # Если новое число не делится на 3
        moves.append(game(first_heap + 1))
    if (first_heap + 2) % 3 != 0: # Если новое число не делится на 3
        moves.append(game(first_heap + 2))
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # Проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1 # От лица Пети будет выигрыш (положительное число, прибавляем 1, поскольку это будет уже следующий ход)
    else: # Если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves) # От лица Пети будет проигрыш (отрицательное число)

for i in range(1, 102): # Переберём возможные значения
    if game(i) == -1: # Если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
        print(i) # Выведем нужное значение