19.01 Перекладывание камней одна куча

Решение руками

Для начала определим значения, при которых Петя побеждает первым ходом. Максимальный ход доступный нам в партии это . Минимальное значение отрезка значений, в которых Петя побеждает первым ходом равняется:

Получается, что в отрезке [32;63] Петя выигрывает своим первым ходом. Теперь определим значение, в котором Ваня побеждает своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ ходы ведут в вышеописанный отрезок – это значение, в котором Ваня выигрывает своим первым ходом. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает первым ходом:

. Петя может увеличить количество камней до или камней. Во всех этих случаях Ване не составит труда завершить партию следующим ходом.

Ответ:

Решение программой:
Для решения на Python используем рекурсию с проверкой всех возможных ходов (, ), чтобы определить, чья это выигрышная позиция.
Функция возвращает , если игра уже завершена (камней ), положительное число — если при оптимальной игре побеждает текущий игрок, и отрицательное – если побеждает соперник.
Так как первый ход делает Петя, цикл запускается от его лица: если значение функции положительное, выигрвает Пете, а если отрицательное – Ваня. Если функция вернёт - значит Петя гарантированно проиграл первым ходом, а Ваня выиграл. При переборе возможных начальных значений программа выводит .

# lru_cache позволит сэкономить ресурсы компьютера. Функция будет сохранять прошлые значения функций, а значит не придётся считать из заново.
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # Функция игры
    if first_heap >= 64: # Если камней в куче стало больше 64
        return 0 # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 1), game(first_heap * 2)] # Прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # Проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1 # От лица Пети будет выигрыш (положительное число, прибавляем 1, поскольку это будет уже следующий ход)
    else: # Если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves) # От лица Пети будет проигрыш (отрицательное число)

for i in range(1, 64): # Переберём возможные значения
    if game(i) == -1: # Если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
        print(i) # Выведем нужное значение