Планиметрия на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Серединный перпендикуляр к боковой стороне 
равнобедренного треугольника 
пересекает боковую сторону 
в точке 
, а
продолжение основания — в точке 
. Найдите углы треугольника 
, если известно, что треугольники 
и 
равновелики.
Источники:
Подсказка 1
Пусть M — середина АС. Тогда KM — серединный перпендикуляр к АС, что из этого следует? И нас просили найти углы АВС, тогда давайте обозначим ∠ACB = α и посчитаем остальные.
Подсказка 2
Да, AK = CK! Чем являются KL и KM? Что тогда можем записать? Условием про серпер воспользовались, теперь нужно использовать равенство площадей... Треугольники не связаны друг с другом, ничего общего у них нет... Тогда стоит поискать ещё равновеликие треугольники и заменить площадь(-и) △ALC или △KBL на какую-то другую или выразить её через другую. И сделать это так, чтобы у новой пары треугольников было что-то общее.
Подсказка 3
KL и KM — биссектрисы, тогда можно записать равенство отношений! А с площадями воспользуйтесь CM = MA. И запишите, какие произведения равны из равенства площадей. Ну и раз уж мы с отношениями работаем — видите подобные треугольники на картинке?
Подсказка 4
Ага, △ABC ~ △KAC! И из этого мы получаем ещё одно равенство отношений. Но даже если посмотреть на все полученные до этого равенства, мы не сможем сделать какой-то вывод, который поможет решить задачу... И всем, что есть на картинке, мы уже воспользовались. Или нет? Какие теоремы нам помогают, когда хотим найти отношение?
Подсказка 5
Теорема Фалеса (обобщённая), Чевы, Менелая... Какая тут поможет? Можно воспользоваться ей или же сделать доп. построение — провести через M среднюю линию △ABC. Так мы сами создадим пару параллельных прямых для теоремы Фалеса!
Подсказка 6
Менелая можно было применить, к примеру, для △ABC и секущей ML. Фалес помогал для секущих KM и KN. Остаётся только воспользоваться всеми найденными соотношениями и заметить что-то хорошее. Попробуйте выразить через них АВ и KB. А дальше останется только простой счёт углов!
Пусть 
и 
— середины отрезков 
и 
соответственно, 
. Тогда 
— средняя линия треугольника
. Поскольку точка 
лежит на серединном перпендикуляре в 
, отрезки 
и 
равны, откуда
.
В силу условия
Так как 
— биссектриса треугольника 
, мы получим
Кроме того,
Тогда из этих двух соотношений
Треугольники 
и 
подобны по двум углам, откуда
Поэтому 
, то есть треугольник 
равнобедренный. Заметим, что
Мы получаем 
, откуда 
. Таким образом, углы 
и 
равны 
, а угол 
равен
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
