19.04 Высказывания про четырехугольники

Проведём диагональ четырёхугольника. Получили два треугольника. С одной стороны, сумма углов этих треугольников равна сумме углов четырёхугольника. С другой стороны, сумма углов двух треугольников равна Значит, сумма углов четырёхугольника равна поэтому это верное утверждение.

Это неверное утверждение, так как, например, существуют ромб, не являющийся квадратом, и квадрат, у которых длины сторон равны. Тогда такие четырёхугольники не будут равны.

По свойству параллелограмма противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, в параллелограмме есть два равных угла. Значит, это верное утверждение.

Если в параллелограмме диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником. В общем случае это неверное утверждение.

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, а диагональ для двух получившихся треугольников общая, то такие треугольники равны по трем сторонам. Значит, это верное утверждение.

Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними:

Значит, это неверное утверждение.

Площадь четырёхугольника, в том числе и параллелограмма, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, поэтому это неверное утверждение.

По свойству ромба его диагонали перпендикулярны, поэтому это верное утверждение.

По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Ромб — частный случай параллелограмма, поэтому это верное утверждение.

Диагонали ромба перпендикулярны, но необязательно равны, поэтому это неверное утверждение.

В ромбе равны противоположные углы. Если в ромбе все углы равны, то такой ромб является квадратом, но не каждый ромб — квадрат. Значит, это неверное утверждение.

По свойству параллелограмма противоположные стороны параллелограмма равны. Так как дано, что равны соседние стороны, то в параллелограмме равны все стороны. Значит, это ромб по определению, то есть это верное утверждение.

По свойству параллелограмма диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому Рассмотрим треугольник В нем проведена высота являющаяся медианой, поэтому треугольник равнобедренный: Тогда у параллелограмма соседние стороны равны, значит, это ромб, поэтому это верное утверждение.

Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником, поэтому это неверное утверждение.

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними:

Ромб — частный случай параллелограмма, поэтому это верное утверждение.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

Так как ромб — частный случай параллелограмма, то это верное утверждение.

Все углы прямоугольника равны 90 градусам, поэтому это верное утверждение.

По свойству параллелограмма диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Прямоугольник — частный случай параллелограмма, поэтому это верное утверждение.

Если в прямоугольнике смежные стороны не равны, то в полученных треугольниках будут равны только стороны, являющиеся половинами диагоналей, а значит треугольники не будут равны, поэтому это неверное утверждение.

В прямоугольнике диагонали равны, но могут пересекаться под разными углами, поэтому это неверное утверждение.