Тема Монополия

04 Монополия - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела монополия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130059

Рассмотрим монополиста, реализующего товар икс на рынке со спросом $Qd = 200− 4P$ . Издержки монополиста описываются функцией $TC = 0.5Q2$ .

а) Определите оптимальную цену, выпуск и прибыль монополии.

б) На сколько изменится прибыль, если монополисту станет доступен механизм совершенной ценовой дискриминации (1 степень)?

в) На сколько изменится прибыль монополиста, если на рынок придет еще одна группа потребителей со спросом $Qd2 = 100− P$ .

Показать ответ и решение

а) 1. Обратная функция спроса:

Q = 200− 4P,P = 200−-Q-= 50− 0.25Q 4

2. Функция выручки (TR):

2 T R = P ⋅Q = (50 − 0.25Q )Q = 50Q − 0.25Q

3. Функция предельной выручки (MR):

M R = T R′ = 50− 0.5Q Q

Заметим, что $M R$ монотонно убывает.

4. Функция предельных издержек ( $M C$ ):

TC = 0.5Q2,M C = T C′ = Q Q

Заметим, что $M C$ монотонно возрастает.

5. Условие максимизации прибыли ( $M R = M C$ ):

50− 0.5Q = Q,50 = 1.5Q,Q = 50-= 100 = 331 1.5 3 3

Поскольку $M R$ монотонно убывает, а $M C$ монотонно возрастает, точка $M R = M C$ даёт глобальный максимум прибыли.

6. Оптимальная цена:

P = 50− 0.25⋅ 100 = 50− 25 = 125 3 3 3

7. Прибыль монополии:

( ( )2 ) ( )2 π = TR − TC = 50⋅ 100 − 0.25 ⋅ 100 − 0.5⋅ 100 3 3 3

5000 2500 5000 15000− 2500− 5000 7500 1 π = --3- − -9--− --9- = --------9---------= --9- = 8333

б) Прибыль при совершенной ценовой дискриминации (1-я степень)

При совершенной ценовой дискриминации монополист назначает каждому потребителю его готовность платить, поэтому предельная выручка совпадает с ценой спроса ( $M R = P$ ). Условие максимизации прибыли: $P = M C$ .

1. Условие $P = M C$ :

50− 0.25Q = Q, 50 = 1.25Q, Q = 40

2. Прибыль:

Как известно, предельная выручка при ценовой дискриминации первой степени совпадает с кривой $Pd(Q )$ , то есть $M R(Q) = 50− 0.25Q$ . В этом случае $TR(Q ) = 50Q − 0.125Q2$ .

π(Q = 40) = TR (40) − T C(40) = 50 ⋅40 − 0.125 ⋅402 − 0.5⋅402 = 1000

3. Изменение прибыли:

Δ π = 1000− 8331 = 1662 3 3

в) Изменение прибыли при появлении новой группы потребителей (будем решать через предельные функции, то есть сложение $M R$ ):

Новая группа потребителей имеет спрос: $d Q2 = 100 − P$ .

1. Обратные функции спроса и $M R$ для каждой группы:

Группа 1: $P1 = 50− 0.25Q1$ , $M R1 = 50− 0.25Q1$ , так как при дискриминации первой степени $d P (Q) = M R (Q)$ .

Группа 2: $P2 = 100− Q2$ , $M R2 = 100 − Q2$

2. Совокупная предельная выручка (сложение по горизонтали):

Будем считать, что $M R1 = M R2$ , где $Q = Q1 + Q2$ :

3. Выразим $Q1$ и $Q2$ через $Q$ :

50− 0.25Q1 = M R1 = M R,Q1 = 4(50 − M R) = 200 − 4M R

100 − Q2 = M R2 = M R,Q2 = 100− M R = 100− M R

4. Условие $Q = Q1 + Q2$ :

Q = Q1(M R )+ Q2(M R) = (100 − M R)+ (200− 4M R) = 300− 5M R

Откуда $M R (Q ) = (300− Q )∕(5) = 60 − 0.2Q$ .

Оптимум: $M R (Q) = M C (Q)$ , тогда $60− 0.2Q = Q$ , $Q ∗ = 50$

Продажи для каждой группы:

$M R (Q = 50) = 60− 0.2 ⋅50 = 50$

Тогда $Q1(M R = 50) = 200− 4 ⋅50 = 0$ , $Q2 (M R = 50) = 100− 50 = 50.$

Таким образом, продаём только второй группе.

7. Прибыль:

Фирма продает товар только второй группе, а значит, выручку при $Q = 50$ можно рассчитать как: $M R (Q ) = 100− Q$ , $T R(Q) = 100Q − 0.5Q2$ , тогда $T R(Q = 50) = 100⋅50 − 0.5⋅502 = 3750$

π(50) = TR (50) − TC(50) = 3750 − 0.5⋅502 = 2500

8. Изменение прибыли (относительно пункта б)):

Δπ = 2500− 1000 = 1500 > 0.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130060

В городе N, где раньше не было сотовой связи, появился оператор-монополист, предлагающий жителям два типа услуг. Первая услуга включает в себя 300 минут бесплатных звонков в месяц. Вторая услуга состоит из 10 ГБ бесплатного интернета в месяц. В городе живут две группы потребителей, одинаковые по численности, но разные по своим предпочтениям. Монополист выбирает цену, и если она оказывается приемлемой для покупателя, то он приобретает товар. В таблице, приведенной ниже, указана максимальная цена, которую каждая группа потребителей готова заплатить за конкретный продукт:


	300 мин бесплатных звонков	10 ГБ бесплатного интернета

Потребители 1 группы	9 д.е.	$x$ д.е

Потребители 2 группы	6 д.е.	12 д.е

Монополист может продавать услуги по отдельности, а может объединять их в пакет. При этом максимальная цена, которую покупатели готовы заплатить за пакет, определяется как сумма максимальных цен двух входящих в него услуг для каждой конкретной группы покупателей.

Найдите при $x = 3$ , $x = 6$ , $x = 15$ выгоднее продавать услуги по отдельности или пакетом?

Показать ответ и решение

Заметим, что фирма назначает цену по максимальной готовности платить, чтобы получить максимальный потребительский излишек.

Также какое именно количество потребителей в каждой группе мы будем рассматривать совершенно не влияет на решение продать пакетом или по отдельности, поэтому положим, что в каждой группе по 1 потребителю.

Рассмотрим каждый случай:

а) Если $x = 3$ :

Продажа по отдельности:

Звонки:

Если $p = 9$ , то покупает только первая группа, тогда $T R = 9$

Если $p = 6$ , то покупают обе группы потребителей, тогда $TR = 6 ⋅2 = 12$ .

Это означает, что оптимальная цена за звонки при продаже по отдельности $p = 6$ и фирма в этом случае получит 12 в качестве выручки.

Интернет:

Если $p = 3$ , то продаем товар обеим группам, и выручка составит $T R = 3⋅2 = 6$ .

Если $p = 12$ , то продаём товар только второй группе потребителей, тогда $T R = 12$ .

Это означает, что оптимальная цена за интернет при продаже по отдельности $p = 12$ и фирма в этом случае получит 12 в качестве выручки.

Итого 24 ден. ед – выручка при продаже по отдельности.

Продажа комплектом:


	300 мин звонков	10 ГБ интернета	Пакет

Потребители 1 группы	9 д.е.	3 д.е	12 д.е

Потребители 2 группы	6 д.е.	12 д.е	18 д.е

Если $p = 12$ , то продаем обеим группам и получаем выручку $T R = 12⋅2 = 24$ .

Если $p = 18$ , то продаем только второй группе и получаем выручку $T R = 18$ .

Таким образом, максимальная выручка, что при продаже по отдельности, что при продаже пакетом, одна и та же.

Ответ: безразлично, как именно продавать.

б) Если $x = 6$ :


	300 мин звонков	10 ГБ интернета	Пакет

Потребители 1 группы	9 д.е.	6 д.е	15 д.е

Потребители 2 группы	6 д.е.	12 д.е	18 д.е

Выручка при продаже по отдельности:

Максимальная выручка от продажи звонков – $TR = 12$ (из случая $x = 3$ ).

Интернет:

Если $p = 6$ , то выручка составит $2⋅6 = 12$ (покупают обе группы)

Если $p = 12$ , то выручка составит также 12.

Таким образом, выручка при отдельной продаже $TR = 12 +12 = 24$ .

Продажа пакетом:

При цене пакета $p = 15$ выручка составит $2⋅15 = 30$ (покупают обе группы).

При цене пакета $p = 18$ выручка составит $18$ (покупает только вторая группа).

Таким образом, выручка при продаже пакетом будет на уровне 30, что больше, чем при продаже по отдельности, поэтому продаем пакетом.

Ответ: продаем пакетом по цене $p = 15$ и получаем выручку $TR = 30$ .

в) Если $x = 15$ :


	300 мин звонков	10 ГБ интернета	Пакет

Потребители 1 группы	9 д.е.	15 д.е	24 д.е

Потребители 2 группы	6 д.е.	12 д.е	18 д.е

При продаже по отдельности:

Выручка от продажи звонков всё так же – 12.

Интернет:

Если $p = 15$ , то покупет только первая группа, тогда выручка – 15.

Если $p = 12$ , то покупают обе группы, тогда выручка – 24.

Таким образом, выручка при продаже услуг по отдельности – 12+24=36.

Если фирма будет продавать услуги комплектами:

Если $p = 24$ , то пакет покупает только первая группа. Выручка составит 24.

Если $p = 18$ , то пакет покупают обе группы, и выручка составит 36.

Таким образом, что при отдельной продаже, что при продаже пакетами максимальная выручка – 36.

Ответ: безразлично, как именно продавать.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130061

Авиарейсы из города N-ска в Москву осуществляет единственная авиакомпания «N-авиа». Спрос на ее услуги предъявляют две группы пассажиров - пенсионеры и непенсионеры. Месячный спрос пенсионеров на авиабилеты описывается уравнением $Q = 44− P$ , а месячный спрос непенсионеров – уравнением $Q = 80 − P$ . Месячная функция издержек авиакомпании имеет вид $T C = 20Q+ 500$ .

Продавая билеты в офисе, фирма сможет проверять наличие пенсионных удостоверений, и, соответственно, назначать для пенсионеров и непенсионеров разные цены. Какие цены назначит монополист?

По мотивам регионального этапа ВОШ

Показать ответ и решение

Функцию прибыли фирмы можно записать как:

π(Q) = P d1(Q1 )Q1 + P2d(Q2 )Q2 − T C(Q1 +Q2 )

или для данной задачи:

π(Q1,Q2) = (44 − Q1 )Q1 + (80− Q2 )Q2 − 20(Q1 + Q2 )− 500

Упростим:

2 2 π(Q1,Q2) = − Q 1 + 24Q1 − Q 2 + 60Q2 − 500

Заметим, что $π(Q1, Q2)$ – сумма двух независимых парабол с ветвями вниз, а значит максимум функции достигает в вершинах $Q ∗1 = (− b)∕2a = − 24∕(2 ⋅(− 1)) = 12$ и $Q∗2 = − 60∕(2⋅(− 1)) = 30$ . Откуда получаем цены $P1∗= 44− 12 = 32$ , $P∗2 = 80− 30 = 50$ .

Таким образом, максимальная прибыль:

π = 32⋅12 +50 ⋅30− 20⋅(30+ 12)− 500 = 544.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#130062

Акакий Акакиевич является единственным производителем башмаков в $N$ -ске, и его общие затраты имеют вид $T C = Q2$ , где $Q$ – количество производимых пар обуви. Спрос на башмаки со стороны жителей города описывается функцией $QD1 = 400− P$ . Акакий неожиданно из своего города переезжает жить в соседний город $M$ -ск, и теперь и жители $M$ -ска, предъявляющие спрос $QD2 = 440 − P$ , и жители $N$ -ска будут покупать у Акакия обувь.

Считая, что монополист может назначать разные цены для жителей разных городов, определите максимальную прибыль Акакия и цены, которые он назначит в двух городах.

Показать ответ и решение

1. Нахождение предельной выручки (MR) для каждого рынка

Для каждого рынка найдём обратную функцию спроса и предельную выручку.

Для N-ска:

P = 400 − Q 1 1

TR1 = P1 ⋅ Q1 = (400 − Q1)Q1 = 400Q1 − Q21

M R1 = T R ′1 = 400 − 2Q1

Для M-ска:

P2 = 440 − Q2

2 TR2 = P2 ⋅ Q2 = (440 − Q2)Q2 = 440Q2 − Q2

′ M R2 = T R 2 = 440 − 2Q2

2. Нахождение предельных затрат (MC)

TC = Q2 = (Q + Q )2 1 2

M C = T C ′ = 2Q = 2(Q1 + Q2 ) Q

3. Условие максимизации прибыли

В условиях монотонного убывания предельной выручки на каждом рынке и монотонного убывания предельных затрат оптимум достигается при выполнении равенства:

M R1 (Q1) = M R2(Q2 ) = M C (Q),Q = Q1 + Q2

Монополист максимизирует прибыль, когда:

( { M R1 = M C ( M R2 = M C

Получаем систему уравнений:

({ 400 − 2Q1 = 2(Q1 + Q2 ) ( 440 − 2Q2 = 2(Q1 + Q2 )

4. Решение системы уравнений

Преобразуем уравнения:

400 − 2Q1 = 2Q1 + 2Q2 ⇒ 400 = 4Q1 + 2Q2

⇒ 200 = 2Q1 + Q2 (1)

440 − 2Q2 = 2Q1 + 2Q2 ⇒ 440 = 2Q1 + 4Q2

⇒ 220 = Q1 + 2Q2(2))

Из уравнения (1): $Q2 = 200 − 2Q1$ .

Подставляем в уравнение (2):

220 = Q + 2(200 − 2Q ) 1 1

220 = Q1 + 400 − 4Q1

− 180 = − 3Q1

Q1 = 60

Тогда $Q2 = 200 − 2 ⋅ 60 = 80$

5. Определение цен

P1 = 400 − Q1 = 400 − 60 = 340

P2 = 440 − Q2 = 440 − 80 = 360

6. Расчёт прибыли

Q = Q1 + Q2 = 60 + 80 = 140

TC = Q2 = 1402 = 19600

T R = P1Q1 + P2Q2 = 340 ⋅ 60 + 360 ⋅ 80 = 20400 + 28800 = 4920

π = TR − TC = 49200 − 19600 = 29600

Ответ: максимальная прибыль: 29600, цена в N-ске: 340, цена в M-ске: 360.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57367

Рассмотрим рынки товаров $X$ и $Y$ , спрос на каждом из которых описывается функциями $Xd = 100 − Px$ и $Yd = 100 − Py$ . Фирма «Абсервант» является монополистом на рынке товара $X$ и совершенным конкурентом на рынке $Y$ , где конкурентное окружение имеет суммарную функцию предложения $Ys = Py$ .

Известно, что для производства $X$ и $Y$ необхимы ресурсы альфа и бета. Так, для производства одной единицы икса необходима 1 единица альфы и 2 единицы беты, а для производства одного игрека 2 единицы альфы и одна единица беты. "Абсервант"закупает необходимые ресурсы на монопсонистическом рынке факторов производства, функции предложения на каждом из которых описываются уравнениями $supply Pα = α$ и $supply Pβ = β$ .

Определите параметры рыночного равновесия на двух рынках готовой продукции.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#57370

Монополист осуществляет ценовую дискриминацию третьей степени, разделив всех потребителей товара Пси на две группы. Максимизируя прибыль, на первом сегменте рынка коэффициент ценовой эластичности спроса составил $𝜀 = − 2.5 1$ при установленной цене $p = 10 1$ . На втором же сегменте рынка коэффициент ценовой эластичности спроса составил $𝜀2 = − 1,25$ при установленной цене равной $x$ .

Определите значение $x$ , считая, что предельная выручка на каждом из сегментов монотонно убывает.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#57372

Монополист Альфа занимается производством экологически безопасных пакетов, спрос на которые описывается зависимостью $Pd = 100 − Q$ , где $Q$ - количество пакетов в тысячах. Известно, что если фирма произведет $Q$ тыс. пластиковых пакетов, то понесет издержки в размере $Q2$ ден. ед.

Правительство в целях повышения качества окружающей среды субсидировало данное производство. Так, за каждую произведенную тысячу пакетов фирма получает $s$ ден. ед. в виде субсидии.

а) Определите совокупный выпуск при различных значениях $s > 0$ .

б) Выведите уравнение кривой, отражающей государственные расходы при различных значениях $s$ . Постройте полученную кривую.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#60411

Спрос на продукцию монополиста описывается функцией $Qd = 200 − 0.5P$ , а общие издержеки $T C(Q) = Q2 + 100Q$ . Определите максимульную прибыль монополиста.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: 7500

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#60412

Рассмотрим монополиста, который не несет издержек на выпуск продукции и сталкивается с функцией спроса $Pd = 250− 5P$ . Определите величину максимальной выручки.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: 3125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#60413

Функция спроса на продукцию монополиста задается уравнением $Qd = 40− 2P$ , а функция общих издержек $TC = 0.5Q2 + 10Q + FC$ . Наибольшая прибыль, которую может получить монополист, равна 20. Чему равны фиксированные издержки данной фирмы?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#120939

Рассмотрите деятельность монополии с издержками $T C = 0.5Q2$ и отраслевой функцией спроса $Qd = 100 − P$ . Государство планирует регулировать рынок рассматриваемого товара, введя потоварный налог $t$ . Как зависит величина общественного благосостояния от $t$ ? В качестве ответа запишите $SW$ как функцию от $t$ . При каком $t = t∗$ достигается максимум общественного благосостояния?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#123310

Монополист Антон Романович занимается продажей драгоценностей. Известно, что если государство установит потоварный налог по ставке $t$ , то зависимость объема продаж от ставки будет описываться функцией $q(t)$ . Докажите, что $q(t)$ не возрастающая функция.

Примечание: Учтите, что задачу необходимо решить в самых общих предпосылках.

Показать доказательство

Докажем от противного. Положим $f(q) = T R(q) − T C(q)$ – функция прибыли монополиста без учета налога. Пусть существует такое $t1 > t0$ , что $q1(t1) > q0(t0)$ . В этом случае:

f(q0) − t0q0 ≥ f(q1) − t0q1

⇒ t0(q1 − q0) ≥ f(q1) − f (q0)

Поскольку $q1 > q0$ или $q1 − q0 > 0$ , а также $t1 > t0$ , то верно и неравенство:

t1(q1 − q0) ≥ f (q1) − f(q0)

⇒ f(q1) − t1q1 ≥ f(q0) − t1q0

Откуда наблюдается противоречие, ведь из последнего неравенства следует, что при налоге $t1$ прибыль монополиста при выпуске $q0$ выше, чем при $q0$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#137492

Рассмотрим фирму, реализующую продукцию на двух рынках: внутреннего монопольного со спросом $qh = 100 − p$ и внешнего, на котором можно продать любое количество продукции по цене $pf$ ден. единиц. Общие издержки фирмы описываются функцией $T C (Q) = Q2$

Постройте в координатах $(qf,pf )$ множество решений об экспортных поставках, которые принимает фирма при различных значениях $pf$ .

Показать ответ и решение

Функция прибыли при производстве $Q = qh + qf$ :

π = ph(qh)qh + pfqf − (qh + qf)2

Подставим обратную функцию внутреннего спроса $ph = 100 − qh$ :

2 π = (100 − qh)qh + pfqf − (qh + qf)

2 2 π = (100 − qh)qh + pfqf − qh − 2qhqf − qf

π = (100 − qh)qh + pfqf − q2h − 2qhqf − q2f

π = − 2q2h + (100 − 2qf)qh + pf qf − q2f

Заметим, что относительно $qh$ функция прибыли – парабола с ветвями вниз, а значит оптимально находится в вершине:

q∗h = 100-−-2qf- 4

Однако, важно заметить, что в условиях $qf ≥ 50$ оптимально $qh = 0$ .

Подставим найденную вершину в целевую функцию прибыли

π = (100 − (25 − 0.5qf))(25 − 0.5qf) + pfqf − (25 − 0.5qf + qf)2

= (75 + 0.5qf)(25 − 0.5qf) + pf qf − (25 + 0.5qf)2

Раскрываем скобки:

(75 + 0.5q )(25 − 0.5q ) = 1875 − 37.5q + 12.5q − 0.25q2 = 1875 − 25q − 0.25q2 f f f f f f f

(25 + 0.5q )2 = 625 + 25q + 0.25q2 f f f

Окончательно:

π = 1875 − 25qf − 0.25q2f + pfqf − 625 − 25qf − 0.25q2f

π = 1250 + (pf − 50 )qf − 0.5q2f

Оптимизация по $qf$ : функция прибыли является квадратичной по $qf$ :

π(qf) = − 0.5q2f + (pf − 50)qf + 1250

Вершина параболы с ветвями вниз:

− (p − 50) − (p − 50) q∗f = ----f------ = ----f------ = pf − 50 2 ⋅ (− 0.5) − 1

Учтем ряд ограничений:

1. При $pf < 50$ : $∗ qf < 0$ → оптимально $qf = 0$

2. При $50 ≤ p ≤ 100 f$ : $0 ≤ q∗ ≤ 50 f$ → оптимально $q = p − 50 f f$

3. При $pf > 100$ : предельный доход от экспорта ( $M Rf = pf$ ) превышает максимально возможный предельный доход от продаж на внутреннем рынке ( $max M R h = 100$ ). Поэтому фирма: полностью прекращает продажи на внутреннем рынке ( $qh = 0$ ) и производит только для экспорта, объем производства определяется из условия $M C = pf$ : $2Q = pf$ , $Q = qf = pf∕2$ .

Множество решений (предложение экспорта на мировой рынок):

( ||| 0, 0 ≤ pf ≤ 50 { qf = pf − 50, 50 < pf ≤ 100 |||( pf ∕2, pf > 100

Итоговый график в координатах $(qf,pf)$ :

Ответ: