Комбинаторика на ИТМО: способы, графы, логика, клетки, комбигео
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На конференцию приехали 
учёных. Оказалось, что у любых двоих как минимум двое общих знакомых. Докажите, что у кого-то из них
хотя бы 
знакомых.
Источники:
Подсказка 1:
Назовём конструкцию из трёх вершин A, B, C с рёбрами AB и BC "растопыркой", притом вершина B — главная. Поработайте с такими конструкциями.
Подсказка 2:
Если решать от противного, то есть предположить, что степень каждой вершины не больше 14, появляется возможность оценить количество "растопырок" сверху.
Подсказка 3:
Действительно, каждая вершина является главной не более чем в 14 • 13 / 2 "растопырках". Было бы неплохо теперь оценить это количество снизу.
Подсказка 4:
По условию, для каждой пары вершин A, B существует хотя бы две вершины, при добавлении каждой из которых к A, B получается "растопырка" с концами в A, B.
Предположим противное. Рассмотрим граф, вершинами которого будут являться учёные, две вершины будем соединять ребром, если
соответствующие учёные знакомы. Из нашего предположения степень каждой вершины не превосходит 
. Посчитаем двумя способами
количество растопырок, то есть конфигураций из 
вершин, одна из которых (будем называть её главной) соединена с двумя
другими). С одной стороны для каждой пары вершин к ним в растопырку можно выбрать хотя бы 
главные. Итого
растопырок не меньше, чем 
. С другой стороны для каждой вершины количество растопырок, в которых она
является главной, не превосходит 
. То есть всего растопырок не больше 
, откуда получаем
противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
