Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.08 Параллелограмм и свойство его биссектрисы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17130

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

По условию $∠ABE = ∠EBC.$ Противоположные стороны параллелограмма параллельны, следовательно, $∠EBC = ∠BEA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BE.$ Тогда в треугольнике $AEB$ углы $B$ и $E$ равны, значит, он равнобедренный, то есть

AB = AE = 6.

$PIC$

Из полностью аналогичных соображений

DE = DC = 6.

Тогда большая сторона параллелограмма равна

AD = AE + DE = 12.

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#66

В параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы $AN$ и $BM,$ $∠ABM = 58∘.$ Найдите $∠BAN.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180∘,$ тогда имеем:

∘ ∠DAB + ∠ABC = 180

Так как $AN$ и $BM$ — биссектрисы, то

∘ ∠BAN + ∠ABM = 0,5(∠DAB + ∠ABC )= 90

Так как $∠ABM = 58∘,$ то искомый угол равен

∠BAN = 90∘ − 58∘ =32∘

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67

В параллелограмме $ABCD :$ $BC = 2 ⋅AB,$ $AN$ и $CM$ — биссектрисы, $AB = 4.$ Найдите $NM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, тогда $∠BNA = ∠NAD,$ но $∠NAD = ∠BAN,$ тогда $∠BNA = ∠BAN$ и треугольник $BAN$ — равнобедренный, $AB = BN.$ Обозначим $AB = x.$

Аналогично треугольник $MCD$ — равнобедренный, $x= CD = MD.$

BC = 2x =AD ⇒ NC = x= AM = BN

$AM ∥BN,$ тогда $ABNM$ — параллелограмм, откуда заключаем, что

MN = AB = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#534

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $BK$ — биссектриса, $BK = AK.$ Найдите $∠D.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Т.к. биссектриса отсекает равнобедренный треугольник от параллелограмма, то $AK = AB.$ Значит $△ABK$ равносторонний, то есть

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 60 ⇒ ∠D = 180 − 60 = 120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#535

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса $∠BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ и делит ее пополам, а также пересекает продолжение стороны $DC$ в точке $L.$ Найдите периметр параллелограмма, если $CL = 3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $△CKL = △BKA$ и являются равнобедренными. Значит, $AB = CL = 3.$

Отсюда получаем

BC =BK + KC = =2 ⋅CK = 2⋅CL = 2⋅3= 6

Тогда периметр параллелограмма равен

PABCD = 2⋅3+ 2⋅6= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#536

В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы $BK$ и $AL$ пересекаются в точке $O.$ Найдите периметр параллелограмма $ABCD,$ если $AD =10,$ а медиана $OM$ в $△AOB$ равна 4.

$PIC$

Показать ответ и решение

$∠AOB = 90∘,$ следовательно, $OM = 1 ⋅AB, 2$ т.к. в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Тогда

AB = 2⋅4= 8 ⇒ PABCD = 2⋅8 +2 ⋅10 = 36

Ответ: 36

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1162

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении $4:3,$ считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

$PIC$

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $AK :KD = 4 :3.$ Обозначим $AK = 4x,$ $KD = 3x.$ Следовательно, $AD = 7x.$

Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то $∠AKB =∠KBC$ как накрест лежащие при $AD ∥BC$ и секущей $BK.$ Следовательно, $∠AKB = ∠ABK,$ то есть $△ABK$ равнобедренный.

$PIC$

Отсюда получаем

AK = AB ⇒ AB = 4x

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то

88 = 2(4x+ 7x) ⇒ x =4

Значит, большая сторона параллелограмма равна

7x= 28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1163

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

$AB= 5.$ Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то $∠AKB =∠KBC$ как накрест лежащие при $AD ∥BC$ и секущей $BK.$ Следовательно, $∠AKB = ∠ABK,$ то есть $△ABK$ равнобедренный:

AK = AB

Аналогично

DC = DK

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то

AK = AB = 5 =CD = DK

Следовательно, $AD = 5+ 5 =10$ — большая сторона.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1412

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AN,$ точка $N$ лежит на стороне $BC,$ причём $NC = 3,$ $AB = 5.$ Найдите периметр параллелограмма $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то $∠BNA = ∠NAD.$

Так как $AN$ — биссектриса, то $∠NAD = ∠BAN,$ откуда получаем $∠BNA = ∠BAN.$

Таким образом, треугольник $ABN$ — равнобедренный, $BN = AB,$ тогда

BC = BN + NC = 5+ 3 =8

В итоге периметр параллелограмма $ABCD$ равен

8+ 8+ 5+ 5= 26

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1413

В параллелограмме $ABCD$ известен $∠B =150∘$ и на стороне $BC$ выбрана точка $N$ такая, что $AB = BN.$ Найдите $∠NAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике $ABN$ углы при основании равны, тогда

∠BAN = ∠BNA = 1(180∘− 150∘)= 15∘ 2

Поскольку накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AN$ равны, то

∠NAD = ∠BNA = 15∘

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1834

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса, выходящая из вершины $B,$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$ и равна 6, $∠BAD = 60∘,$ $AK :KD = 3:2.$ Найдите периметр параллелограмма $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Углы $∠ABK = ∠KBC,$ так как $BK$ — биссектриса $∠ABC.$ Углы $∠KBC = ∠BKA,$ так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда имеем:

1 ∠ABK = ∠BKA = 2(180∘− ∠BAD )= 1 ∘ ∘ ∘ = 2(180 − 60 )= 60

Так как $△ABK$ равносторонний, то $AB = BK = AK = 6.$ Тогда

AK :KD = 6 :KD = 3:2 KD = 4, AD = AK + KD = 10

Тогда периметр параллелограмма равен

PABCD = 2 ⋅6 +2 ⋅10 = 32

Ответ: 32

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1835

В параллелограмме $ABCD$ точка $K$ лежит на стороне $AD,$ $BK = 3$ — биссектриса $∠ABC,$ $BC = 5,$ $∠BKA = 60∘.$ Найдите периметр параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BK$ — биссектриса угла параллелограмма, то имеем:

∘ ∘ ∠ABK = ∠BKA = 60 ⇒ ∠BAD = 60

Значит, $△ABK$ — равносторонний, тогда

AB = BK =3 ⇒ PABCD = 2⋅3+ 2⋅5= 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2380

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются на стороне $AD.$ Найдите $BC,$ если $AB = 4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $K.$

По свойству биссектрисы параллелограмма $△ABK$ и $△CDK$ — равнобедренные. Тогда имеем:

AB = AK, CD = DK

$PIC$

Следовательно, искомый отрезок равен

BC =AD = AK + DK = AB + CD = 2 ⋅AB = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2381

В параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы $AN$ и $BE$ односторонних углов. Найдите $BE,$ если $AN = 16,$ $AB = 10.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы параллелограмма $△ABE$ и $△ABN$ — равнобедренные, то есть

AE = AB =BN

Следовательно, $AO$ — биссектриса, проведенная к основанию, а значит, и высота, то есть $∠AOB = 90∘,$ а также и медиана, то есть $BO = OE.$

$PIC$

Аналогично имеем

1 AO = ON = 2AN = 8

Тогда по теореме Пифагора из $△AOB :$

∘ ---------- BO = AB2 − AO2 =6 ⇒ BE = 2⋅6= 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2513

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем биссектрисы двух соседних углов. Пусть они разбили первый угол на два угла, равных $x,$ второй угол — на два угла, равных $y.$ Нужно найти $α.$

$PIC$

По свойству параллелограмма сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна $180∘.$ Следовательно,

∘ ∘ 2x +2y = 180 ⇔ x +y = 90

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ x +y +α = 180 ⇒ α= 180 − (x + y) =180 − 90 = 90

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#23884

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $∘ 15 .$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∘ ∠ALB = 15 .$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,