Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Пусть

Поскольку

Можем утверждать, что

для любого действительного . Пусть — значение параметра при котором исходное уравнение имеет хотя бы одно решение Тогда, так как то для этих значений и Учитывая, что и неравенство выше, получаем, что для этих значений и справедливы одновременно неравенства

и

Так как при этих значениях и исходное уравнение превращается в верное равенство, получаем, что и удовлетворяют двум равенствам

и

Очевидно, что если значения и удовлетворяют этим равенствам, то они удовлетворяют и исходному уравнению. Следовательно, каждое значение при котором исходное уравнение имеет решение, совпадает с тем значением при котором имеет решение система уравнений

Итак, задача свелась к нахождению таких значений параметра при каждом из которых эта система имеет хотя бы одно целочисленное решение.

Пусть — то значение параметра при котором система имеет целочисленное решение тогда

Подставляя это значение во второе ураннение системы, получим, что число должно быть решением уравнения

Уравнение равносильно совокупности уравнений

Для решения этих уравнений разобьем числовую ось на три промежутка: 1) 2) 3)

Пусть тогда совокупность уравнений перепишется в виде

Первое уравнение этой совокупности имеет решение а второе имеет решение Так как и то в этом случае уравнение имеет два корня и и они оба целочисленные.

Пусть тогда совокупность уравнений перепишется в виде

Первое из этих уравнений имеет решение а второе имеет решением любое действительное Корень не удовлетворяет условию Следовательно, решением уравнения является в этом случае любое число из промежутка В этом промежутке лежит только одно целое число

Пусть тогда совокупность уравнений перепишется в виде

Первое из этих уравнений имеет решение а второе имеет решение Оба эти корня удовлетворяют условию Следовательно, уравнение имеет в этом случае два корня и но ни один из этих корней не является целым числом.

Итак, уравнение имеет три целых корня:

Каждому из этих корней по формуле соответствует

Именно эти и дают ответ в задаче.