Тема . Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32518

При каких значениях параметра $a$ уравнения

2 sin3x= asinx +(4− 2|a|)sin x

и

sin3x+ cos2x= 1+ 2sinxcos2x

равносильны?

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение

3 2 3 2 1 3sinx − 4sin x +1− 2sin x =1+ 2sinx − 4sin x ⇐⇒ sinx = 2sin x⇐⇒ sinx= 0,sin x= 2

Заметим, что с учётом $3 sin3x =3sinx− 4sin x$ первое уравнение является условием на многочлен от $sinx$ вида

4sin3x+ (4− 2|a|)sin2x+ (a − 3)sinx =0

Одним корнем будет $sinx= 0$ , а другим, лежащим на промежутке $[−1,1]$ должен быть $1 sinx= 2$ , то есть

1 1 a− 3 2 +(4− 2|a|)⋅4 + -2--= 0⇐⇒ 1+ 2− |a|+ a− 3 =0 ⇐⇒ a≥ 0

То есть мы можем вынести $( ) sinx sinx − 12$ и получить

( 1) sinx sin x− 2 (4sinx − 2a+ 6)=0

Последним решением будет $sinx = a−23$ , возможны два случая

Этот корень лежит на отрезке $[−1,1]$ , тогда он должен совпадать с $0$ или $12$ , откуда $a= 3$ или $a =4$ .
Корень лежит вне отрезка, то есть $a−23> 1⇐ ⇒ a> 5$ или $a−32-< −1⇐⇒ a < 1$ .

Ответ:

$[0;1)∪{3;4}∪(5;+ ∞)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse