Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

(a) Заметим, что поэтому решения неравенства — это Тогда является необходимым условием, если его множество решений содержит (иначе найдутся такие что неравенство неверно, а условие верно). Ясно, что иначе не имеет решений. Возведем неравенство в квадрат:

Перенесем влево и разложим по разности квадратов:

Тогда решения этого неравенства — это так как Так как это множество должно содержать то получаем систему неравенств:

Решаем оба неравенства

Решения этой системы:

(b) Так как то неравенство имеет множество решений

Условие является достаточным для если его множество решений содержится в множестве

Заметим, что

Тогда по теореме Виета корни этого квадратного трехчлена и Тогда решения неравенства — это Так как это множество должно содержаться в имеем систему

Тогда получаем то есть