Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Заметим, что является корнем первого уравнения, следовательно, при нужных значениях он будет корнем и второго уравнения. Подставив во второе уравнение, получим

Значит, если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для данных значений Сделаем проверку, подставив их.

Пусть тогда первое уравнение примет вид

А второе —

Заметим, что удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

не является корнем первого, поэтому данное нам не подходит.

Пусть тогда первое уравнение примет вид

А второе —

Заметим, что удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

не является решением первого, поэтому данное нам не подходит.

Пусть тогда первое уравнение примет вид

А второе —

При во втором уравнении можно поделить левую и правую часть на получим

Но поэтому левая часть не более 2, значит, она никак не может быть равна 3. Из этого понимаем, что решений, кроме быть не может.

Теперь рассмотрим первое уравнение. Докажем, что у него есть решение, отличное от При поделим левую и правую часть на

Сделаем замену где

Рассмотрим правую часть как функцию

Она непрерывна, при этом и значит, на интервале есть корень данной функции. Что и требовалось доказать.