Тема . Задачи с параметром

Алгебра. Теорема Виета

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39788

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых корни $x,x 1 2$ уравнения $x2+ax+ 1= 0$ существуют и удовлетворяют условию

( x1)2 ( x2)2 5 x2 + x1 < 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Сначала разбираемся с простым условием о существовании двух корней! Какое условие это накладывает на а?

Подсказка 2!

2) Да-да, теперь нам осталось выразить левую часть нашего второго условия - дроби с корнями, по теореме Виета, через известные нам выражения на корни! То есть x1+x2 и x1x2

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решения существуют, если дискриминант $2 a − 4$ неотрицателен, то есть $|a|≥ 2$ .

По теореме Виета $x1+ x2 = −a$ и $x1x2 = 1$

( x )2 ( x )2 x4+ x4 1x2- + x21 = (1x1x2)22 = (x1+x2)4− 4x1x32− 6x21x22− 4x31x2 =

=(−a)4− 4x22− 6x1x2 − 4x21 = a4− 4(x1+ x2)2+ 2x1x2 = a4− 4a2 +2< 5 2

Значит, нужно решить неравенство $2a4− 8a2 − 1 <0$ . Получаем $a2 < 2+ 3√ 2$ . Значит $a∈ (−∘2-+-√3,∘2-+√3-) 2 2$ . Осталось пересечь с условием $|a|≥2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Можно заметить, что если $(x1)2 = t x2$ , то нам было дано условие $t+ 1< 5 t 2$ . Оно выполняется при $t∈ (1,2) 2$ . Тогда $∘ x1----- 4√- x1 = x2(x1x2)= ± t$ ( $x1x2 = 1$ ).

Отсюда $√- a= 4t+ √14t-$ или $√- a= − 4t− 14√t$ . Заметим, что в первом случае $√- f(t)= t+ 1√t$ возрастает при $t> 1$ , убывает при $t∈ (0,1]$ и непрерывная. $∘ ------ f(12)= f(2)= 2+ 3√2$ и $f(1)= 2$ . Значит, при $t∈ (12,2)$ в первом случае $a∈ [2,214 +2− 14)$ . Аналогично во втором случае $a∈ (−(214 + 2− 14),− 2]$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Числа $∘---√3- 2+ 2$ и $14 − 14 2 +2$ равны, потому что

3 1 − 1 1 − 1 2+ √2-=22 +2 2 +2 ⋅24 ⋅2 4,

так как $1 1 √32 = √12-+ 2√2 = 22 + 2−2,$ а $1 1 2 =2 ⋅24 ⋅2− 4.$

Ответ:

$(− 4√2− -1√-;− 2] ∪[2;√ 42-+ √1) 42 42$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Алгебра. Теорема Виета

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ