Алгебра. Теорема Виета
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа 
таковы, что каждое из двух уравнений 
и 
имеет по два целых корня, при этом все эти корни
меньше 
Найдите наименьшее значение 
Источники:
Подсказка 1
Если сначала не очень понятно, что вообще делать, то давайте вспомним теорему, которая связывает корни многочлена и его коэффициенты!
Подсказка 2
Верно, это теорема Виета! Чему равно произведение корней у первого и второго уравнения и как дальше искать нужные нам a?
Подсказка 3
Да, у первого уравнения произведение корней равно а, у второго — a-1. Теперь вспоминаем, что корни отрицательные и различные у каждого уравнения и при этом a и a-1 — разной чётности. Тогда какое число хочется найти первым делом?
Подсказка 4
Верно, а и a-1 должны быть положительными и при этом, так как корни различны, то a и a-1 не являются квадратами и простыми числами. А какое минимальное натуральное число является нечётным и при этом произведением двух других чисел, отличных от 1 и -1?
Подсказка 5
Да, это число 15.
По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно 
, произведение корней второго уравнения равно 
. Ввиду того, что
корни целые и меньше 
, их произведение больше 
, поэтому каждое из двух последовательных чисел 
и 
является
произведением двух различных целых чисел, больших 
(откуда 
).
Заметим, что 
и 
не могут быть простыми числами, иначе один из корней — 
. Они так же не могут быть квадратами простых
чисел, так как иначе либо корни совпадают и равны 
, либо один из них равен 
Выпишем первые 15 натуральных чисел и вычеркнем все простые и квадраты простых. Останутся 
Из них мы можем
взять в качестве 
только число 15, так как в оставшихся случаях 
будет вычеркнуто. Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
