Алгебра. Исследование замены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых уравнение
имеет решение.
Подсказка 1
Для начала, стоит сделать логичную замену t=sin(x). Логична она, потому что здесь есть только синус(то есть, если бы был еще и косинус, то было бы намного неприятнее заменять t=sin(x)). Ну и возвести в квадрат дважды, потому что работать с корнями вообще не понятно как.
Подсказка 2
У нас получилось уравнение 4 степени относительно t. Дааа, такое нам не решить. Но есть одна хитрость - решить его относительно а(если получится, то получим разложение на две скобки), ведь относительно а перед нами квадратное уравнение.
Подсказка 3
Получили разложение (a-t^2+t)(a-t^2-t-1)=0. Когда мы второй раз возводили в квадрат, то добавили к ОДЗ условие: t^2-a>=0. Значит, как минимум, оно точно должно выполняться. Осталось рассмотреть два случая(когда каждая из скобок равна 0) и с помощью оценок на синус, получить два подходящих значения а.
Так как в левой части выражение хотя бы 
, то 
. Значит, для неотрицательности подкоренного 
требуется
.
Возведём в квадрат:
Возведём еще раз в квадрат и заменим 
на 
(в конце надо будет проверить, что 
, чтобы не потерять условие
неотрицательности правой части при возведении в квадрат). Получаем
Перед нами квадратное уравнение относительно 
. Значит, можно посчитать его дискриминант
или разложить уравнение на множители как 
.
Теперь проверяем условие 
:
Если 
, то 
. В силу 
, получаем, что подходит только 
и 
.
Если 
, то 
. Поскольку 
, то подходит только 
и 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
