Алгебра. Исследование замены

Данное уравнение на ОДЗ равносильно следующему

Делаем замену Получаем уравнение

Исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда уравнение имеет ровно одно положительное решение Это возможно в двух случаях.

1) Уравнение имеет ровно одно решение и это решение положительно.

Это может быть, если , откуда Тогда получаем, что т. е. имеет один положительный корень.

2) Уравнение имеет два корня, один из которых положителен, а другой - нет. В этом случае удобно разобрать два варианта.

a) Одним из корней уравнения является Подставляя это значение в находим, что Тогда принимает вид т. е. действительно имеет ровно один положительный корень Значит, подходит.

б) Один из корней положителен, а второй - отрицателен. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство , откуда

Объединяя полученные результаты, находим, что