Алгебра. Исследование замены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определите, при каких значениях параметра 
уравнение
имеет единственное решение 
.
Источники:
Подсказка 1
Нам хочется найти единственное решение, тогда, быть может, существует универсальное решение, не зависящее от a? Обратим внимание на то, что и слева, и справа присутствует умножение на корень из числа.
Подсказка 2
После того, как мы найдем одно из решений, нам нужно показать, что других нет. Обратим внимание на то, какие функции присутствуют в обеих частях. Быть может, сделаем оценку на их значения?
Подсказка 3
Квадратный корень гарантирует нам знак, поэтому можно разобрать случаи разных знаков a.
Подсказка 4
Разобрать случаи a = 0, a < 0 не составит труда, а каким является уравнение при a > 0 относительно sqrt(x)? Как добиться того, чтобы оно имело нужное нам количество решений?
Подсказка 5
Уравнение является квадратным относительно sqrt(x), значит имеет смысл разобрать знак дискриминанта!
Заметим, что пара 
является решением данного уравнения. Тогда нужно найти такой параметр 
при котором у данного уравнения
нет других решений.
Запишем ОДЗ:
Сделаем замену: 
Если есть решения относительно 
, то есть решения для 
Тогда получаем
При 
существует единственное решение 
Тогда 
подходит под условия.
При 
левая часть не более 
а правая не менее 
значит равенство достигается, когда и левая и правая части равны нулю. Это
достигается только при 
значит, 
подходит под условия.
При 
получаем
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно 
Чтобы данное уравнение не имело неотрицательных решений нужно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
(a) 
Если 
то 
значит далее рассмотрим 
Так как рассматриваются 
то получаем, что при 
нет других решений, кроме 
(b) 
но оба корня отрицательны.
Если 
то 
Выпишем корни:
Так как ранее был сделан вывод, что 
то далее опустим его, так как на знак он не влияет.
При 
получаем, что
Не подходит, так как с плюсом получаем положительное выражение.
При 
получаем, что
При 
получаем, что корни будут отрицательными, значит, такое ограничение подходит.
Объединим решения и получим, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
