Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения 
при каждом из которых уравнение
![x 2
|2[tgα]− 1| =[tgα]+ 2](/api/latex-service/v1/GetSession/280040/index-2e9475ae68765479ecf990214c0a5e89.svg)
имеет рациональное решение 
Здесь ![[t]](/api/latex-service/v1/GetSession/280040/index-a032a2a25416f014292eba1f6379046f.svg)
— целая часть числа 
Источники:
Подсказка 1
Будет удобно ввести замену b = [tgα].
Подсказка 2
Рассмотрите решения полученного после замены уравнений при b = 0 и при натуральном b. Сделайте выводы о представлении числа x дробью.
Подсказка 3
Попробуйте подставить отрицательный x и натуральное b. Обратите внимание, как себя ведут левая и правая части в связи с монотонностью при натуральном b.
Подсказка 4
Заметьте, что выполняется неравенство b² + 2 > 2b - 1 ≥ 1
Подсказка 5
Можем считать, что x = d/q, где d и q — натуральные числа, откуда b² + 2 и 2b - 1 имеют общие делители. Введите систему, в которой представьте b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения некоторых чисел.
Подсказка 6
Попробуйте получить какие-то замечания относительно представления чисел b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения. Для этого исключите b из левой части.
Подсказка 7
Домножьте выражение с b² + 2 на 4, а выражение с 2b - 1 — на 2b + 1. Потом вычтите второе из первого. Проанализуруйте полученное выражение, основываясь на делимости.
Подсказка 8
И b² + 2, и 2b - 1 представимы в виде степени некого простого числа.
Подсказка 9
Пусть p — общий простой делитель b² + 2 и 2b - 1. Найдите его точное значение и сделайте выводы о представлении b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения.
Подсказка 10
Найдите точные значения b² + 2 и 2b - 1, пользуясь свойствами делимости. Проделайте аналогичные рассуждения для b < 0.
Положим ![b= [tgα]](/api/latex-service/v1/GetSession/285891/index-62c93f273b0388d9d2976c9f49e85456.svg)
. Тогда уравнение принимает вид
Нужно найти все целочисленные значения 
при которых существует рациональное решение 
При 
решений нет. Рассмотрим вначале натуральные 
Тогда поскольку при любом натуральном 
то можем считать, что в представлении 
числа 
и 
натуральные. Значит, числа 
и 
имеют одни и те же простые
делители.
Пусть 
— общий простой делитель этих чисел, тогда
для натуральных 
и 
Исключая 
из левых частей уравнений этой системы, получаем
Значит, 
— натуральное, а 
— делитель 
т.е. 
Поэтому
для натуральных 
и 
где 
Так как
а 
не делится на 
то 
и 
Для отрицательных 
решение проводится почти аналогично.
Положим 
Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:
Случай 
понятен, поскольку решение 
Пусть теперь 
натуральное и больше 
Аналогично предыдущему показывается,
что в представлении 
числа 
и 
натуральные. Опять предположив, что 
— общий простой делитель этих чисел,
получим
и также сделаем вывод, что 
Поэтому
для натуральных 
и 
где 
Так как
не делится на 
а
то 
и 
или 
но последнее уравнение не имеет натуральных решений. Поэтому все решения
описываются уравнениями: ![[tga]= −1](/api/latex-service/v1/GetSession/285891/index-dffb50a1fc5cc143aa524b3d79b1068c.svg)
и ![[tga]= 5,](/api/latex-service/v1/GetSession/285891/index-e9be41ee5e886ffcd9115fe14f52cda9.svg)
решив которые приходим к ответу.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
