Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении 
вместо 
, 
и 
поставить
три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите
уравнение.
Источники:
Подсказка 1
Во-первых, если мы еще «методом пристального взгляда» не подобрали такие коэффициенты, то стоит привести все к общему знаменателю, так как в таком виде непонятно как работать с уравнением и его корнями. Чтобы были целые корни, нужен как минимум, дискриминант равный квадрату целого числа, так как если он не равен квадрату целого, то корни будут иррациональными.
Подсказка 2
Ну вот мы нашли дискриминант. Он получился (a-b)^2 + (2c)^2. И это должно быть квадратом. Хмм… То есть, сумма квадратов - это квадрат. Интересно. Но ведь мы же знаем примеры таких чисел и это…
Подсказка 3
Верно, пифагоровы тройки. Тогда давайте начнем с первой такой тройки - (3,4,5). Значит, a - b = 3, c = 2. Тогда корни уравнения будут выражения (2с - a - b +-5)/2 = (4 - a - b +- 5)/2. Нам нужно, чтобы выражение делилось на 2, значит, нужно, чтобы а и b были разной четности. Пусть тогда это 3 и 6. Осталось проверить, что они подходят под ОДЗ и записать ответ!
Проверим, что числа 
, 
и 
подойдут. Уравнение будет иметь вид: 
. Его корнями будут числа 
и
.
Первое решение.
Если привести всё к общему знаменателю и перемножить по правилу пропорции, то мы получим квадратное уравнение:
. Это означает, что у уравнения должно быть два корня. Можно подобрать их исходя из того, что
дискриминант 
должен быть точным квадратом (если мы хотим получить целые корни). В этом помогают пифагоровы
тройки, например 
и можно выбрать 
, 
. В таком случае 
. Если 
, 
, то
получаем те же решения 
, 
. Можно подставлять другие тройки, например, 
и для них будут параметры
, 
и 
, а корнями уравнения будут 
и 
.
Второе решение.
Также можно попробовать сделать один корень равным нулю и подобрать 
так, чтобы выполнялось равенство 
.
Довольно известным является равенство 
, поэтому стоит попробовать тройку 
, 
, 
. Более того, в силу
теоремы Виета, сумма корней равна 
, а поэтому если 
чётно, то сумма корней будет целым числом, а значит, если один корень
целый (например, 
), то и второй корень тоже будет целым.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
