Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Сразу заметим, что при равенство из условия невозможно, так что далее мы везде считаем, что даже когда не напоминаем об этом явно.

Предположим, что такие многочлены и нашлись. Тогда можно считать, что они взаимнопросты (иначе поделим оба на общий множитель — новая пара тоже удовлетворяет условию), и у старший коэффициент равен 1 (домножим и на константу , чтобы старший коэффициент стал равен 1). Введем обозначение для разложения на линейные множители (естественно, воспользовавшись существованием такого разложения в комплексных числах):

Для комплексного числа множество чисел вида где , будем называть цепью числа

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ключевое утверждение:

Если — корень то числа 0 и 1 принадлежат цепи

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство.

Пусть — корень тогда обозначим через и такие минимальное и максимальное значения при которых является корнем Заметим, что и определены корректно: множество значений не пусто (поскольку 0 подходит) и конечно, поскольку у конечное число корней (первое место, в котором важно, что ). Тогда пусть не оба числа 0 и 1 лежат в цепи Тогда одно из двух чисел и не является ни 0 ни 1 (второе место: нам важно, что и — два разных числа). Рассмотрим эти два случая.

Пусть — не равно ни 0 ни 1. Посмотрим на равенство из условия

и разложим левую часть на простейшие дроби:

где степень меньше при причем

Поскольку — корень в разложение входит член со знаменателем и ненулевым числителем. Но — не корень иначе было бы корнем что противоречило бы максимальности . Тогда член со знаменателем не входит в разложение значит члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться — но он не входит в правую часть — противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, мы доказали, что если у многочлена есть комплексные корни, то в цепь этого корня входят числа 0 и 1, то есть выполняется равенство для какого-то целого . Если же у нет комплексных корней, то он - ненулевая константа, то есть и — многочлены, тогда их разность не может равняться

Осталось показать, что все значения вида где подходят. Для достаточно взять функцию

и привести сумму к общему знаменателю, числитель взять в качестве а знаменатель — Для то же самое сделать с суммой