Тема . Задачи с параметром

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51666

Найдите все значения a  , при каждом из которых система

{ 25x− 13 ⋅5x+ a< 0;
  12sin4πx− cos4πx =11

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Решим сначала уравнение системы:

12 sin4πx− cos4πx= 11⇔
⇔  3(1− c)2− (2c2− 1)− 11= 0, где c= cos2πx,⇔
  2
⇔ c − 6c− 7= 0⇔ (c− 7)(c+ 1)= 0⇔
⇔ cos2πx= −1 ⇔ 2πx = π+2πn, где n ∈ℤ,⇔
⇔ x= 0,5 +n

Теперь для того чтобы хотя бы при одном из найденных значений x  выполнялось неравенство системы

25x− 13 ⋅5x <− a⇔ t2− 13t< −a, где t= 5x =5n√5,⇔
⇔ (t− 6,5)2 <− a+6,52

необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось для такого t= 5n√5,  для которого левая часть последнего неравенства минимальна при n∈ℤ.  Такое число t  - ближайшее к точке 6,5,  а именно t=√5,  поскольку: 1) точка 6,5 лежит между числами t0 = 50√5  и t1 = 51√5  (так как √5< 3< 6,5 <5⋅2 <5√5)  2) точка t0  лежит ближе к 6,5,  чем точка t1  (так как 6,5− √5<  <5√5 − 6,5⇔ 13< 6√5⇔ 169< 180,  что верно )  Таким образом, система имеет решение тогда и только тогда, когда

 2            √-2   √-            √-
t0− 13t0 < −a⇔  5 − 13 5 <− a⇔ a< 13 5− 5
Ответ:

 a <13√5− 5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!