Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
![x 2
|2[tga]− 1| =[tga]+ 2](/api/latex-service/v1/GetSession/169430/index-2b0bd07a6a620ce1fa93a09ac3f37803.svg)
имеет рациональное решение 
. Здесь, ![[t]](/api/latex-service/v1/GetSession/169430/index-c57cd8303f7db70082dcc69843f2a3ba.svg)
- целая часть числа 
.
Источники:
Подсказка 1
Чтобы найти все а, нужно сначала найти все возможные значения [tgа]. А чтобы целая часть тангенса не смущала, можно просто заменить её на некоторое целое число b.
Подсказка 2
Если b = 0, b > 0 и b < 0. Первый совсем простой. Рассмотрим, когда b > 0, то есть b — натуральное. Попробуйте оценить правую часть выражения. Может ли х быть отрицательный?
Подсказка 3
Чтобы ответить на вопрос предыдущей подсказки, Вам поможет неравенство (b - 1)² ≥ 0.
Подсказка 4
Эти выражения имеют одни и те же простые делители! Тогда если p — некоторый общий простой делитель, то пусть b² + 2 = pN, а 2b - 1 = pM. Избавившись от b в левых частях уравнений полученной системы, получите уравнение в целых числах(*) и сделайте вывод, чему может быть равно p.
Подсказка 5
р = 3. Поэтому можно записать b² + 2 как 3^n, а 2b - 1 как 3^m, тогда, используя это, (*) уже совсем несложно решается.
Подсказка 6
Случай b < 0, решается аналогично, если сделать замену c = -b.
Положим ![b= [tga]](/api/latex-service/v1/GetSession/169432/index-8b900160df6700c26fa283d12287cf01.svg)
. Тогда уравнение принимает вид 
. Нужно найти все целочисленные значения 
, при которых
существует рациональное решение 
.
При 
решений нет. Рассмотрим вначале случай 
, т.е. 
. Тогда поскольку при любом натуральном 
то можем считать, что в представлении 
числа 
и 
натуральные. Значит, числа 
и 
имеют одни и те же
простые делители.
Пусть 
- общий простой делитель этих чисел, тогда
где 
и 
- натуральные. Исключая 
из левых частей уравнений этой системы, получаем
Значит 
- натуральное, а 
-делитель 9 , т.е. 
. Поэтому
где 
и 
- натуральные и 
. Так как
a 
не делится на 3 , то 
и 
.
Для отрицательных 
решение проводится почти аналогично. Положим 
. Тогда исходное уравнение будет записываться в
виде:
Случай 
очевиден, поскольку решение 
. Пусть 
. Аналогично предыдущему показывается, что в
представлении 
числа 
и 
натуральные. Опять предположив, что 
- общий простой делитель этих чисел,
получим
и также сделаем вывод, что 
. Поэтому
где 
и 
- натуральные и 
. Так как
а 
не делится на 3 , то 
и 
или 
, но последнее уравнение не имеет натуральных
решений.
Поэтому все решения описываются уравнениями: ![[tga]= −1](/api/latex-service/v1/GetSession/169432/index-5b20601270da24f4d15a5b2e4520276c.svg)
и ![[tga]=5](/api/latex-service/v1/GetSession/169432/index-638deb76e4801b6eacc393fe98abcdd2.svg)
, решив которые приходим к ответу.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
