Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Условие, что прямая вида касается графика означает равенство функций и равенство производных в точке касания:

Нас интересует, когда эта система имеет ровно корня. Заметим, что система эквивалентна

То есть должна существовать прямая , которая касается графика .

При ее производная монотонная функция, а значит, имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.

При можно заметить, что касательные в точках локального минимума (нашли их как корни производной ) имеют одинаковый коэффициент наклона , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке касательная ; в других же точках коэффициент наклона касательной не ).

Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем . То есть искомая касательная это .