Тема . Задачи с параметром

Симметрия (и чётность) в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34205

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

-2x2 x2− 1 2 5 21+x + acos x +a =4

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение очень противное, поэтому давайте здесь поищем красоту! Если х является решением, то какое еще значения будет являться решением?

Подсказка 2

Да, 1/x ! Значит останется найти решения x и при каких а эти решения будут единственными!

Подсказка 3

Отлично, получили значение а= -3/2 и а = 1/2. В первом случае, случае аргумент второго слагаемого очень интересно ведет себя в окрестности х=0, попробуйте этим воспользоваться, чтобы проанализировать количество решений!

Подсказка 4

Во втором же случае попробуйте оценить первое слагаемое снизу и выяснить в какой точке оно принимает данное значение! Отсюда оценка и на количество решений данного уравнения.

Показать ответ и решение

Подставим $1∕x$ вместо $x$ ( $x⁄= 0$ из ОДЗ)

--2x-- -2∕x--- --2x- x2− 1 1∕x2− 1 1−-x2 x2−-1 1+ x2 → 1+1∕x2 = x2+ 1, x → 1∕x = x = − x

Но поскольку $( 2 ) 2 cos − x-−x1 = cosx−x1$ , то левая часть не меняется и если $x$ — решение, то и $1∕x$ — решение.

У уравнения может быть один корень только в случае, если $x= 1∕x$ , то есть $x= ±1$ обязательно будет решением.

$x =1$ — решение. Тогда
$21+a +a2 = 5 ⇐ ⇒ a2+ a+ 3 =0 4 4$
Решений относительно $a$ нет, $x= 1$ не может быть решением.
$x =− 1$ — решение. Здесь
$2−1 +a+ a2 = 5 ⇐⇒ a2+ a− 3= 0 ⇐⇒ a= − 3 ,a = 1 4 4 2 2$
Пусть $a = 1 2$ . В этом случае
$12+xx2 1 x2−-1 2 + 2cos x = 1$
Рассмотрим $x → 0$ снизу. Тогда первое слагаемое будет близко к единице, а аргумент второго будет возрастать к бесконечности, поскольку в знаменателе почти $0$ , а в числителе почти $− 1$ . Сам косинус при этом будет непрерывно колебаться между $− 1$ и $1$ , тогда сумма будет колебаться между $1 − 12 ⋅1= 12$ и $1 + 12 ⋅1= 32$ с небольшой погрешностью, то есть будет проскакивать значение $1$ , откуда решений больше одного.
Пусть $a =− 3 2$ . Получим
$-2x-- 3 x2− 1 21+x2 −2 cos--x-- =−1$
Заметим, что $-2x2-∈[−1,1] 1+x$ , поскольку $2|x|≤1 +x2$ , откуда $212+xx2 ≥ 1 2$ , равенство достигается только при $x =− 1$ . Тогда
$-2x2 3 x2− 1 1 3 21+x − 2cos--x--≥ 2 − 2 = −1$
И равенство достигается только при $x= −1$ .

Ответ:

$− 3 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Симметрия (и чётность) в параметрах

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ