Симметрия (и чётность) в параметрах

Запишем ОДЗ:

Преобразуем выражение:

Т.к. переменная и параметр находятся и в степени, и в логарифме, то обычного аналитического решения не придумать. Но в задаче спрашивается значение параметра, при котором существует единственное решение. Это наталкивает на мысль, что нужно использовать нестандартный метод решения. Попробуем найти симметрию в уравнении.

Если - решение этого уравнения, представим его в виде Тогда если есть какое-то решение такого вида, то обязательно найдется другое решение вида Тогда можно выделить следующую симметрию:

Тогда единственное решение достигается если

Тогда подставим в уравнение, найдем параметр и проверим что при полученных параметрах достигается единственное решение.

При

Проверим, что при данных достигается единственное решение.

При

Первое слагаемое точно больше либо равно , второе слагаемое больше либо равно Тогда слева чтобы достигалось равенство нужно чтобы равнялся Единственное решение.

При

Рассмотрим

Это означает, что есть решение между и , помимо решения Тогда это значение параметра не подходит, т.к. при данном значении не единственное решение уравнения.