Симметрия (и чётность) в параметрах

Заметим, что если в каждом уравнении поменять местами и , то уравнения останутся прежними. Следовательно, система симметрична относительно перемены местами и . Значит, если у системы есть решение , то у нее есть и решение . Пара, не дающая новую пару решений, имеет вид , то есть имеет равные координаты и . Следовательно, если среди решений системы есть решение вида , то решений будет нечетно, если же такой пары нет — решений будет четно.

Значит, нам нужно, чтобы такая пара была решением системы.

1.

Определим, при каких (так как по условию) система имеет решение вида :

Это решение , имеющееся у системы при .

2.

Определим, имеет ли система еще решения при . Причем заметим, что если мы определим хотя бы одно решение, отличное от , то найденное значение нам не подойдет. Если же мы докажем, что других решений нет, то нам подойдет.

система при имеет вид

Второе равенство представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел. Так как такая сумма по модулю не меньше и равна , если оба числа равны , то из второго уравнения следует, что , откуда . Следовательно, других решений быть не может и нам подходит.

Если , то , откуда на промежутке получаем углы