Тема . Задачи с параметром

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77213

Найдите все значения параметра $a$ , для которых при любых вещественных $x$ , $y$ , $z$ выполнено

sin x+siny+ sinz− sinxsiny − siny sinz− sinzsinx+ sinx sinysinz ≤

|| ( π) ( π)|| ≤a |tg x+ 4 +ctg x+ 4 |.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

( sinx= r,r∈[−1;1], |{ |( siny = s,s∈[−1;1], sinz = t,t∈ [− 1;1].

Тогда выражение примет вид:

|| ( π ) ( π)|| r +s+ t− rs− st− rt+ rst≤ a|tg x +4 + ctg x+ 4 |.

Добавим $− 1$ к обеим частям, чтобы разложить левую часть на множители:

|| ( π ) ( π)|| r+ s+t− rs− st− rt+ rst− 1≤ a|tg x +-4 + ctg x+ 4 |− 1,

| ( ) ( )| (r− 1)(s− 1)(t− 1)≤ a||tg x+ π +ctg x+ π ||− 1. 4 4

Сделаем оценку:

(| −2≤ r− 1≤ 0, { −2≤ s− 1≤ 0, ⇒ левая часть не больше 0. |( −2≤ t− 1 ≤0.

||tg(x+ π)+ ctg(x + π )||≥2, как сумма взаимно обратных. | 4 4 |

|| ( π) ( π )|| a|tg x+ 4 + ctg x+ 4 |− 1≤ 2a− 1.

Тогда чтобы выполнялось равенство, нужно чтобы правая часть равная была больше $0 :$

1 2a− 1≥ 0⇒ a= 2.

Докажем, что $a< 12$ не подходит:

x= 0,y = π,z = 0⇒ 0≤ a⋅|1+1|− 1, 2

2a− 1≥ 0⇒ a≥ 1. 2

Ответ:

$[1;+ ∞) 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse