Тема Задачи с параметром

Графика. Гипербола

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79611

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#66210

Найти все значения параметра $t$ , при которых система

{ x2 +y2 = 6t xy =t2− 4

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $(x0,y0)−$ решение данной системы. Предположим, что $x0 ⁄= y0,x0 ⁄= −y0,$ тогда $(y0,x0)−$ тоже решение системы. Кроме того, так как хотя бы одно из чисел $x0,y0$ не равно $0$ (иначе бы $x0 =y0 =0),$ то возникают дополнительные пары $(−x0,−y0),(−y0,− x0).$ Но ведь должно же быть два решения, значит, $x0 = y0$ или $x0 =−y0.$ Тогда разберем случаи.

1.

$x0 = y0.$ Получим:

{ 2x20 =6t, x20 = t2− 4.

Значит,

2 3t= t − 4,

t2− 3t− 4= 0,

t= −1;4.

2.

$x0 = −y0.$ Имеем:

{ 2 2x02 = 6t,2 −x0 =t − 4.

Значит,

−3t= t2 − 4

2 t + 3t− 4= 0

t= 1;− 4.

Заметим, что нет гарантии того, что найденные значения $t$ будут подходить под условие задачи, так как мы нашли $t,$ при условии, что пара вида $(x0,x0)$ будет решением. Теперь проверим полученные значения $t.$

1.

$t= −1;−4.$ Тогда $x2+ y2 <0.$ Но $x2+ y2 ≥0,$ значит, такое $t$ не подходит.

2.

$t= 4.$ Система принимает вид:

{ x2 +y2 = 24 xy =12

Заметим, что из системы следует, что $2 2 2 (x− y) =x − 2xy+ y =24− 2⋅12= 0.$ Значит, $x =y.$ Тогда $2 x =12.$ Откуда имеет две пары $√- √ - √- √- (2 3,2 3);(−2 3,−2 3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

3.

$t= 1.$ Система принимает вид:

{ x2+ y2 =6 xy = −3

Заметим, что из системы следует, что $(x+ y)2 =x2+ 2xy+ y2 =6 − 2⋅3= 0.$ Значит, $x= −y.$ Тогда $x2 = 3.$ Откуда имеет две пары $(√3,−√3-);(− √3,√3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

Второе решение.
Решим задачу графически. Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $√ -- 6t$ или пустое множество (при $t< 0).$ Значит $t≥ 0.$ Второе уравнение задает гиперболу, либо совокупность прямых $x= 0,y =0 при t= −2;2.$ Тогда будет ровно $2$ решения, когда окружность касается гиперболы, то есть расстояние от начала координат до графика второго уравнения будет равно $√-- 6t.$

$PIC$

Пусть $(a,b)$ лежит на гиперболе, тогда

a⋅b= t2− 4.

Квадрат расстояния от начала координат до этой точки равно:

a2+ b2 = a2 + (t2− 4)2= (a− |t2− 4|)2+2|t2− 4|. a2 a

Тогда расстояние от начала координат до графика второго уравнения (наименьшее расстояние от начала координат до точки на графике второго уравнения) будет равно $∘ ------ 2|t2− 4|.$ Имеем:

------ ∘ 2|t2− 4|= √6t

2 2|t − 4|= 6t

|t2− 4|=3t

[ t2− 4= 3t t2− 4= −3t

[ t2− 3t− 4 =0 t2+ 3t− 4 =0

[ t= ±1 t= ±4

Так как $t≥ 0,$ то $t∈{1;4}.$

Ответ:

$1;4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31979

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

1 ||1 || 2ax+||x +2||= 2a

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два графика $y = ||2+ 1|| x$ — гипербола с отражением, а также $y = − ax+ 2a 2$ — пучок, проходящий через точку $(4,0)$ .

$PIC$

Заметим, что при $a <0$ прямые будут пересекать асимптоту $y = 2$ гиперболы, потому пересекут и саму гиперболу. Если же $a≥ 0$ , то общая точка у прямых будет с отражённой частью гиперболы. То есть решение существует при любом $a.$

Ответ:

$a ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70778

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство

4x-− 3 2 2x − 2 ≥ax +b≥ 8x − 34x+ 30

выполнено для всех $x$ на промежутке $(1;3].$

Источники: Физтех-2023, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе неравенство. Обозначим

2 h(x)= 8x − 34x+ 30

График - парабола с ветвями вверх. На концах данного в условии промежутка имеем $h(1)= 4,h(3)= 0.$ Так как неравенство должно выполняться на всём промежутке, то точки $M (1;4)$ и $N(3;0)$ могут располагаться на прямой $y = ax +b$ или ниже неё. Отсюда самое "низкое"расположение этой прямой (на указанном промежутке) есть прямая $MN$ . Составляя её уравнение по двум точкам, имеем $y =− 2x +6$ (назовём эту прямую $ℓ).$

График левой части неравенства - гипербола

4x− 3 g(x)= 2x− 2

Заметим, что она касается прямой $ℓ$ в точке, принадлежащей промежутку $(1;3]$ . Действительно, уравнение

4x− 3 2x−-2 = −2x+ 6

имеет единственное решение $x = 32.$ При этом

( ) g′(x)= − --2---,g′ 3 =− 2 (2x− 2)2 2

Т.е. угловой коэффициент прямой $ℓ$ совпадает с производной функции $y = g(x)$ в их общей точке.

$PIC$

Несложно видеть, что на данном промежутке прямая $ℓ$ находится ниже гиперболы. Любая прямая, расположенная “выше” прямой $ℓ$ пересекается с гиперболой, и потому не удовлетворяет условию.

Итак, $ℓ$ — единственная возможная прямая, удовлетворяющая условию; следовательно, $a =− 2$ , $b=6.$

Ответ:

$a =− 2,b= 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41247

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ -----2--- ( 6x− x − 4 +a− 2)((a− 2)x − 3a+ 4)=0

имеет два различных действительных корня.

Показать ответ и решение

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Первая скобка равна нулю, если

∘ --------- 2 2 2 2 6x− x2 − 4= 2− a ⇐⇒ 2− a≥ 0 и 6x − x − 4= (a − 2) ⇐⇒ (x − 3) +(a− 2)= 5 и a≤ 2

Вторая скобка равна нулю, если $a(x− 3)− 2(x − 2)= 0 ⇐⇒ a= -2-+ 2. x−3$ Переход с делением равносильный, так как $x= 3$ не обращает уравнение в тождество.

Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке $(3;2)$ , а второе - гиперболу с двумя асимптотами $x =3$ и $y = 2$ (см. рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: $2 √- √- 6x − x − 4≥ 0=⇒ x∈ [3 − 5;3+ 5]$ .

$PIC$

В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая $y = a$ пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе $- - 3− √5≤ x≤ 3+ √5$ . Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку $D )$ ; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку $A$ или $B)$ ; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку $C$ и не строго ниже прямой $y =2$ . Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки $D$ :