Тема Задачи с параметром

Графика. Гипербола

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79611

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Мы имеем что-то похожее на квадратное неравенство. Без зазрения совести обозначим xy за t. Надо решить неравенство t²+t-2<0. Какое неравенство для xy это даст?

Пункт а, подсказка 2

Верно, -2<xy<1. Рассмотрите отдельно случаи xy>0 и xy<0 и постройте нужное множество.

Пункт б, подсказка 1

Будем надеется, что эти гиперболы мы не просто так рисовали. С точками, которые можно соединить отрезком все как-то мутно, а вот с ломанными все гораздо веселее. Хочется упростить себе задачу и не думать о совсем произвольной ломанной, а, например, с фиксированной точкой...

Пункт б, подсказка 2

Предлагаю доказать, что мы можем просто соединить любую точку с точкой (0,0), откуда все и будет следовать. Но доказать это вам придется самостоятельно...

Пункт б, подсказка 3

Ладно уж, застыдили! Посмотрите, что происходит с модулем значения xy, при приближении к точке (0,0), и с помощью этого докажите, что если X лежит в нашем множестве, то и отрезок XO тоже.

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#66210

Найти все значения параметра $t$ , при которых система

{ x2 +y2 = 6t xy =t2− 4

имеет ровно два решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что пара (х₀; у₀) является решением системы, какие ещё пары появляются в этом случае? Влияет ли перестановка местами переменных на пару решений? А смена знака?

Подсказка 2

Итак, пара (х₀; у₀) даёт нам сразу 4 решения системы. Но в каком случае 4 решения превращаются в 2? Есть два варианта соотношений между х₀ и у₀, когда это возможно. Для каждого из них найдите подходящие значения t

Подсказка 3

Два из четырёх возможных значений отсекаются сразу, поскольку сумма квадратов никак не может быть отрицательной. Другие случаи можно разобрать подстановкой: ФСУ поможет нам решить систему!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $(x0,y0)−$ решение данной системы. Предположим, что $x0 ⁄= y0,x0 ⁄= −y0,$ тогда $(y0,x0)−$ тоже решение системы. Кроме того, так как хотя бы одно из чисел $x0,y0$ не равно $0$ (иначе бы $x0 =y0 =0),$ то возникают дополнительные пары $(−x0,−y0),(−y0,− x0).$ Но ведь должно же быть два решения, значит, $x0 = y0$ или $x0 =−y0.$ Тогда разберем случаи.

1.

$x0 = y0.$ Получим:

{ 2x20 =6t, x20 = t2− 4.

Значит,

2 3t= t − 4,

t2− 3t− 4= 0,

t= −1;4.

2.

$x0 = −y0.$ Имеем:

{ 2 2x02 = 6t,2 −x0 =t − 4.

Значит,

−3t= t2 − 4

2 t + 3t− 4= 0

t= 1;− 4.

Заметим, что нет гарантии того, что найденные значения $t$ будут подходить под условие задачи, так как мы нашли $t,$ при условии, что пара вида $(x0,x0)$ будет решением. Теперь проверим полученные значения $t.$

1.

$t= −1;−4.$ Тогда $x2+ y2 <0.$ Но $x2+ y2 ≥0,$ значит, такое $t$ не подходит.

2.

$t= 4.$ Система принимает вид:

{ x2 +y2 = 24 xy =12

Заметим, что из системы следует, что $2 2 2 (x− y) =x − 2xy+ y =24− 2⋅12= 0.$ Значит, $x =y.$ Тогда $2 x =12.$ Откуда имеет две пары $√- √ - √- √- (2 3,2 3);(−2 3,−2 3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

3.

$t= 1.$ Система принимает вид:

{ x2+ y2 =6 xy = −3

Заметим, что из системы следует, что $(x+ y)2 =x2+ 2xy+ y2 =6 − 2⋅3= 0.$ Значит, $x= −y.$ Тогда $x2 = 3.$ Откуда имеет две пары $(√3,−√3-);(− √3,√3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

Второе решение.
Решим задачу графически. Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $√ -- 6t$ или пустое множество (при $t< 0).$ Значит $t≥ 0.$ Второе уравнение задает гиперболу, либо совокупность прямых $x= 0,y =0 при t= −2;2.$ Тогда будет ровно $2$ решения, когда окружность касается гиперболы, то есть расстояние от начала координат до графика второго уравнения будет равно $√-- 6t.$

$PIC$

Пусть $(a,b)$ лежит на гиперболе, тогда

a⋅b= t2− 4.

Квадрат расстояния от начала координат до этой точки равно:

a2+ b2 = a2 + (t2− 4)2= (a− |t2− 4|)2+2|t2− 4|. a2 a

Тогда расстояние от начала координат до графика второго уравнения (наименьшее расстояние от начала координат до точки на графике второго уравнения) будет равно $∘ ------ 2|t2− 4|.$ Имеем:

------ ∘ 2|t2− 4|= √6t

2 2|t − 4|= 6t

|t2− 4|=3t

[ t2− 4= 3t t2− 4= −3t

[ t2− 3t− 4 =0 t2+ 3t− 4 =0

[ t= ±1 t= ±4

Так как $t≥ 0,$ то $t∈{1;4}.$

Ответ:

$1;4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31979

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

1 ||1 || 2ax+||x +2||= 2a

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте оставим модуль слева, а все остальное перенесем в правую часть уравнения и рассмотрим графики отдельно каждой части. Постройте их и посмотрите, когда у них есть хотя бы одна общая точка

Подсказка 2

Да, у нас есть гипербола с отражением и пучок прямых. Подумайте о том, будут ли прямые пересекать гиперболу при положительных, отрицательных а и при а равном 0!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два графика $y = ||2+ 1|| x$ — гипербола с отражением, а также $y = − ax+ 2a 2$ — пучок, проходящий через точку $(4,0)$ .

$PIC$

Заметим, что при $a <0$ прямые будут пересекать асимптоту $y = 2$ гиперболы, потому пересекут и саму гиперболу. Если же $a≥ 0$ , то общая точка у прямых будет с отражённой частью гиперболы. То есть решение существует при любом $a.$

Ответ:

$a ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70778

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство

4x-− 3 2 2x − 2 ≥ax +b≥ 8x − 34x+ 30

выполнено для всех $x$ на промежутке $(1;3].$

Источники: Физтех-2023, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на квадратный трехчлен справа! Какие значения многочлен принимает в точках 1 и 3?

Подсказка 2

Да, значения в точках 3 и 1 равны, соответственно 0 и 4. Из этого мы понимаем, что наша прямая(ax+b) пересекает эти точки или лежит выше прямой, которая проходит через эти точки! Остаётся проанализировать гиперболу в левой части неравенства! Что можно сказать про положение этой гиперболы, относительно прямой, которая проходит через две полученные нами точки из квадратного трёхчлена?

Подсказка 3

Да, гипербола касается точки, принадлежащей этой прямой! При этом угловой коэффициент прямой совпадает с производной гиперболы в этой самой точке! Тогда, что можно сказать про все прямые, которые находятся выше выбранной?

Подсказка 4

Верно, они не подходят под условие, так как пересекают гиперболу!

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе неравенство. Обозначим

2 h(x)= 8x − 34x+ 30

График - парабола с ветвями вверх. На концах данного в условии промежутка имеем $h(1)= 4,h(3)= 0.$ Так как неравенство должно выполняться на всём промежутке, то точки $M (1;4)$ и $N(3;0)$ могут располагаться на прямой $y = ax +b$ или ниже неё. Отсюда самое "низкое"расположение этой прямой (на указанном промежутке) есть прямая $MN$ . Составляя её уравнение по двум точкам, имеем $y =− 2x +6$ (назовём эту прямую $ℓ).$

График левой части неравенства - гипербола

4x− 3 g(x)= 2x− 2

Заметим, что она касается прямой $ℓ$ в точке, принадлежащей промежутку $(1;3]$ . Действительно, уравнение

4x− 3 2x−-2 = −2x+ 6

имеет единственное решение $x = 32.$ При этом

( ) g′(x)= − --2---,g′ 3 =− 2 (2x− 2)2 2

Т.е. угловой коэффициент прямой $ℓ$ совпадает с производной функции $y = g(x)$ в их общей точке.

$PIC$

Несложно видеть, что на данном промежутке прямая $ℓ$ находится ниже гиперболы. Любая прямая, расположенная “выше” прямой $ℓ$ пересекается с гиперболой, и потому не удовлетворяет условию.

Итак, $ℓ$ — единственная возможная прямая, удовлетворяющая условию; следовательно, $a =− 2$ , $b=6.$

Ответ:

$a =− 2,b= 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!

Подсказка 2

Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.

Подсказка 3

Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".

Подсказка 4

Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?

Подсказка 5

Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.

Подсказка 6

Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.

Подсказка 7

Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".

Подсказка 7

Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!

Подсказка 8

Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41247

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ -----2--- ( 6x− x − 4 +a− 2)((a− 2)x − 3a+ 4)=0

имеет два различных действительных корня.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Но обязательно не забываем, что если один из них равен нулю, то другой должен иметь смысл!! Что получаем после равносильных преобразований?

Подсказка 2

Теперь эту задачу можно изобразить в плоскости xOa! Получатся полуокружность и гипербола. Но не забываем про ОДЗ, оно задаёт полосу, в которой мы будем искать решения! Когда же будет ровно два решения?

Подсказка 3

Когда прямая касается полуокружности, либо когда она проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой, либо же когда она будет пересекать только полуокружность в двух точках, а точка пересечения с гиперболой будет вне полосы!

Показать ответ и решение

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Первая скобка равна нулю, если

∘ --------- 2 2 2 2 6x− x2 − 4= 2− a ⇐⇒ 2− a≥ 0 и 6x − x − 4= (a − 2) ⇐⇒ (x − 3) +(a− 2)= 5 и a≤ 2

Вторая скобка равна нулю, если $a(x− 3)− 2(x − 2)= 0 ⇐⇒ a= -2-+ 2. x−3$ Переход с делением равносильный, так как $x= 3$ не обращает уравнение в тождество.

Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке $(3;2)$ , а второе - гиперболу с двумя асимптотами $x =3$ и $y = 2$ (см. рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: $2 √- √- 6x − x − 4≥ 0=⇒ x∈ [3 − 5;3+ 5]$ .

$PIC$

В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая $y = a$ пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе $- - 3− √5≤ x≤ 3+ √5$ . Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку $D )$ ; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку $A$ или $B)$ ; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку $C$ и не строго ниже прямой $y =2$ . Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки $D$ :