Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
- фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек 
таких, что существует пара вещественных чисел 
, при
которых выполняется система неравенств
Найдите площадь фигуры 
.
Источники:
Подсказка 1
Раз нам нужно найти площадь, то в любом случае надо понять, какой будет график. Начнём "причёсывать" задачу. Как можно равносильно преобразовать условие с минимумом?
Подсказка 2
Верно, можно переписать условие на минимум в виде системы, когда каждое из них больше, чем выражение слева. В итоге, получится система из трёх уравнений. У нас есть квадраты и удвоенные произведения. Как тогда хорошо бы записать уравнения и что представляют их графики?
Подсказка 3
Ага, можно собрать полные квадраты и увидеть, что у нас получаются уравнения трёх кругов. Давайте строить их в плоскости (a; b), а x и y тогда будут выступать в роли параметров. Два круга у нас с фиксированными центрами, а один — нет. Как же теперь нам нужно переформулировать условие задачи через график?
Подсказка 4
Верно, это значит, что все три круга должны иметь по крайней мере одну общую точку. Теперь вам нужно рассмотреть предельные случаи, когда будет пересечение всех кругов. Пусть начало координат точка A и противоположная ей B на границе второго круга, а пересечение кругов C и D. Какое дополнительное построение теперь можно сделать, чтобы легко увидеть крайние случаи и понять, какое множество в итоге (x;y)?
Подсказка 5
Да, давайте отразим относительно точек пересечения A и B. Не забываем, что радиус у всех наших кругов одинаковый. Осталось только понять, как удобнее всего описать наше множество. Здесь будет полезно рассмотреть круги с центрами A и B и удвоенным радиусом, а ещё круги с нашим радиусом и центрами C, D. По итогу, множество M будет объединение секторов. Осталось только посчитать их площадь, и победа!
Второе неравенство равносильно системе неравенств
Значит, исходная система равносильна следующим:
Множества точек, задаваемых этими неравенствами на плоскости 
и 
при этом выступают в роли параметров), - это
круги 
радиуса 
с центрами 
соответственно. Условие задачи означает, что полученная
система должна иметь решение относительно 
, то есть все три круга должны иметь по крайней мере одну общую
точку.
Пусть окружности, ограничивающие 
и 
, пересекаются в точках 
и 
(тогда треугольники 
и 
- равносторонние). Пересечение кругов 
и 
есть фигура 
, представляющая собой совокупность двух меньших
сегментов этих кругов, ограниченных хордой 
. Тогда фигура 
состоит из всевозможных точек 
, находящихся на
расстоянии не более 
от фигуры 
. (Это совокупность всех кругов радиуса 
, центры которых принадлежат фигуре
.)
Пусть точки 
и 
симметричны точкам 
и 
(соответственно) относительно точки 
; точки 
и 
симметричны точкам 
и 
(соответственно) относительно точки 
.
А само множество 
есть объединение следующих четырёх секторов (центральный угол всех секторов меньше 
):
- сектор
круга с центром в точке 
и радиуса 
- сектор
круга с центром в точке 
и радиуса 
- сектор
круга с центром в точке 
и радиуса 
- сектор
круга с центром в точке 
и радиуса 
Заметим, что первые два сектора пересекаются по ромбу 
, и никаких других пересечений между секторами нет. При этом первые
два сектора равны между собой, и последние два сектора также равны между собой. Таким образом, площадь фигуры 
равна
Изображено множество точек (в плоскости (𝑎; 𝑏), удовлетворяющих второму неравенству системы – 2 балла; указано (или изображено, описано) множество решений первого неравенства – баллы не добавляются; верно описан способ построения фигуры 𝑀 (например, совокупность кругов заданного радиуса, центры которых лежат в некотром множестве), но сама она построена неверно – 1 балл; изображена фигура 𝑀 – 3 балла; найдена её площадь – 2 балла. Если фигура 𝑀 изображена неверно, нахождение площади не оценивается, и за задачу ставится не более 3 баллов. Если фигура 𝑀 представляет собой пересечение двух кругов с центрами 𝐴 и 𝐵 радиусов 2𝐴𝐵, за задачу ставится 3 балла (при этом не играет роли, найдена ли площадь)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
