Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, центр которой лежит на прямой 
, пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек - начало
координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
. Найдите все значения 
, при которых описанная конфигурация
возможна.
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала разграничим случаи для b, потому что как минимум расположение графиков будет отличаться. Теперь стоит ввести обозначения центра окружности (a; b), точек пересечения прямой и окружности (x_1; y_1) и (x_2; y_2). Но у нас окружность ещё пересекается с осью ординат. Какие же координаты этой точки?
Подсказка 2
Верно, её координаты (0; 2b), так как образуется равнобедренный треугольник. Но нам же надо найти значения b для возможной конфигурации. Причём у нас есть по сути две хорды в окружности. Глядя на вашу картинку, о каком факте из планиметрии полезно вспомнить?
Подсказка 3
Да, это теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Одно произведение мы уже знаем, отлично. Теперь нужно найти отрезки второй хорды. Попробуем опустить перпендикуляры из точек (x_1; y_1), (x_2; y_2) на оси координат. Теперь у нас есть прямоугольные треугольники. Получается, чтобы выразить гипотенузу нам нужен только угол. А не знаем ли мы его? Вспомните о том, что значит коэффициент возле прямой на графике.
Подсказка 4
Верно, мы знаем тангенс угла наклона, а значит и сможет выразить отрезки через x_1 и x_2. Но так как окружность и прямая пересекаются, то их уравнения можно приравнять и найти произведение x_1x_2 через b. Отлично, этот случай разобран. Случай b=0 быстро исключается. Осталось только понять, почему случай b<0 не подходит вовсе и такого не может быть. Вспомните, что прямая пересекает хорду в середине и может иметь с окружностью не более 2 точек пересечения.
Рассмотрим сначала 
. Обозначим начало координат через 
, центр окружности через 
(так как он лежит на прямой
, его ордината равна 
; точки пересечения прямой с параболой через 
и 
. Пусть также
— точка пересечения данной прямой с осью ординат, 
— точка пересечения окружности с осью ординат, отличная от
.
Треугольник 
равнобедренный 
как радиусы), 
— его высота, следовательно, 
также и медиана, 
,
поэтому точка 
имеет координаты 
. Опустим из точки 
перпендикуляр 
на ось ординат. Тогда 
есть угол
наклона прямой, его тангенс равен 
. Отсюда 
. Аналогично находим, что
.
и 
— две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах 
, т.е.
. Абсциссы 
и 
точек пересечения прямой 
и параболы 
определяются уравнением
. По теореме Виета 
. Значит, 
, откуда
.
Значение 
не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид 
, т.е. проходит через начало
координат.
При 
(естественно, мы рассматриваем только те 
, при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа 
и
положительны. Точка 
является серединой отрезка OC (сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит,
что точка 
— середина хорды 
, т.е. лежит внутри окружности. С другой стороны, точки 
и 
лежат на окружности, поэтому 
является хордой этой окружности, а точка 
лежит на продолжении хорды 
, т.е. вне окружности. Получаем противоречие, и этот
случай невозможен.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
