Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите значения параметра 
, при которых у системы уравнений
существуют два решения 
и 
такие, что расстояния между точками 
и 
равно
Источники:
Подсказка 1
Хм, а какую фигуру на координатной плоскости задают эти уравнения? Что нужно сделать, чтобы мы смогли узнать расположение этой фигуры на плоскости?
Подсказка 2
Да, эти уравнения задают окружность, чтобы получить её центр и радиус нужно выделить полные квадраты! Тогда, какие точки на этих окружностях являются решением нашей системы?
Подсказка 3
Верно, это точки пересечения! При этом нам нужно, чтобы расстояние между точками было равно 10, а радиус каждой окружности равен 13. А что если окружности совпадают, то есть их центры находятся в одной точке, подойдет ли нам этот случай?
Подсказка 4
Да, этот случай подойдет! Ведь, радиус больше 10, значит найдутся две точки, расстояние между которыми ровно 10. Осталось разобраться со случаем, когда окружности пересекаются в точках P и Q. Какую фигуру задают центры окружностей и точки их пересечения?
Подсказка 5
Да, это ромб! Тогда, мы знаем, что сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех сторон ромба! Осталось только вспомнить, что расстояние между точками можно найти как: корень из суммы квадратов разности их координат!
Выделим полные квадраты
Каждое из этих уравнений задаёт окружность радиуса 13; у первой из них центром является точка 
, а у второй -
точка 
.
Если эти уравнения задают одну и ту же окружность, то на этой окружности найдутся точки на расстоянии 10 друг от
друга, поскольку диаметр окружности больше 
. Окружности совпадают в случае, когда у них одинаковые центры.
Получаем
Эти равенства выполняются, если либо 
, либо 
. В первом случае получаем 
.
Во втором случае 
, здесь решений нет.
Пусть теперь рассматриваемые окружности различны и пересекаются в точках 
и 
. Тогда четырёхугольник 
- ромб.
Известно, что в любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон, откуда
. Так как мы хотим, чтобы точки 
и 
располагались на расстоянии 10 друг от друга, 
, поэтому
. Итак, необходимо, чтобы расстояние между центрами окружностей 
и 
было равно 24.
Отсюда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
