Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Второе уравнение системы равносильно совокупности

Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности и — с центрами в точках и и радиусами и соответственно.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы:

Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом При фиксированном значении — т.е. при фиксированном угле наклона — и при получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом

Чтобы система имела ровно решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).

Проведём общую внутреннюю касательную к окружностям (пусть и — точки касания этой прямой с и соответственно). Пусть — прямая, параллельная и проходящая через точку пусть также ( поэтому — угол наклона общей внутренней касательной). Так как

а также то из прямоугольного имеем

Значит,

С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем откуда