Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Для начала в силу неотрицательности можем сделать замену , после чего зафиксируем все точки вида на окружности , откуда получим уравнение . Любое решение изначального уравнения будет решением этого для какого-то фиксированного радиуса. То есть остаётся понять, когда есть решения у системы

Решения несложно представить графически, переписав второе, как . Заметим, что ищем мы их только в первой четверти, поэтому при неположительных значениях обязательно откуда — единственное решение, которое, вообще говоря, будет решением для любого значения параметра. Далее

Видно, что “ближайшая точка окружности к прямой” — это , полученная построением перпендикуляра из центра — именно в ней будет происходить касание. Далее при условии можем посчитать

Данное расстояние должно быть больше радиуса, чтобы решений при положительном не оказалось — это нам и требуется. Значит, .

Остаётся последний случай: отрезок прямой лежит внутри окружности, тогда крайний случай — совпадение точки , которая в силу лежит дальше от начала координат с верхней точкой окружности, тогда

после этого отрезок прямой в первой четверти лежит строго внутри окружности и решений при положительном радиусе не будет (то есть меньшие подходят, откуда и получаем ответ).