Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно инвариантно относительно замены на и/или на . Это означает, что множество точек, задаваемых этим уравнением, симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти (включая её границы), раскрывая модули, мы получаем . Это уравнение задаёт окружность с центром (4; 3) радиуса 5. В первой четверти лежит дуга этой окружности и точка (0; 0). Отображая эту дугу симметрично относительно начала координат и обеих координатных осей, получаем множество точек, задаваемых вторым уравнением (см. рисунок).

Геометрическое место точек, заданных первым уравнением, представляет собой совокупность двух лучей и с началом в точке соответствующие и . Отметим, что луч является частью прямой при любом и не пересекается с полуплоскостью . Этот луч либо пересекает график второго уравнения системы в точке (8; 6), либо не пересекает его вовсе. Последний случай не подходит, т.к. при нём луч пересекает график второго уравнения не более чем в двух точках. Таким образом, для того чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы луч пересекал график второго уравнения два раза, а луч — один раз.

Рассмотрим положения луча при различных . Если , луч пересекает только дугу окружности, лежащую во второй четверти (назовём её ). Если , луч дополнительно проходит через точку и имеет два пересечения с графиком второго уравнения. Если , луч проходит через точку принадлежащую графику второго уравнения, а также пересекает дугу .

Значение, соответствующее касанию и , можно найти, например, так. Пусть — центр окружности, содержащей дугу — точка касания и . Так как угловой коэффициент равен то угловой коэффициент радиуса равен откуда следует, что координаты точки — это . Поскольку луч с уравнением проходит через точку , получаем

откуда

При луч пересекает график второго уравнения трижды: дважды он пересекает дугу , а один раз —- дугу, лежащую в первой четверти. При луч касается дуги и пересекает дугу окружности в первой четверти (это значение параметра найдено ниже). Наконец, при луч может пересечь только дугу окружности, лежащую в первой четверти, и общее количество точек пересечения графиков не превосходит двух.